[論文レビュー] Edgeworth expansions for slow-fast systems and their application to model reduction for finite time scale separation

Jeroen Wouters, Georg A. Gottwald|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Scientific Research and Discoveries被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、遅い・速い確率的・カオス的システムにおけるエッジワース展開を構築し、有限の時間スケール分離におけるガウス近似の解析的補正を提供する。1次および2次補正を導出することで、有限時間領域における古典的ホモジゲニゼーションを上回るより正確な確率的低次元モデルの構築が可能になる。

ABSTRACT

We show that transition probabilities of the slow variable of a multi-scale dynamics can be expanded in orders of the time scale separation parameter. The resulting Edgeworth corrections characterise deviations from Gaussianity due to the finite time scale separation. Explicit expressions for the first two orders of correction are provided, valid for stochastic as well as deterministic chaotic fast dynamics. The corrections are then used to construct a stochastic reduced system which reliably approximates the effective diffusive behaviour of the slow dynamics. Our method provides an improvement on the classical homogenization limit which is restricted to the limit of infinite time scale separation. We corroborate our analytical results with numerical simulations, demonstrating improvement over homogenization.

研究の動機と目的

• 古典的ホモジゲニゼーションの限界、すなわち無限の時間スケール分離を仮定し非ガウス的効果を無視するという点を是正すること。
• 有限の時間スケール分離に起因する遅い変数の遷移確率のガウス近似に対する解析的補正を導出すること。
• 有限時間領域における有効拡散挙動を正確に捉えることができる確率的低次元モデルを構築すること。
• 現実的で有限の時間スケール分離を有するシステムに対してもモデル還元技術の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 多スケールシステムにおける遅い変数の遷移確率に対するエッジワース展開を導出する。
• 有限の時間スケール分離に起因するガウス性からのずれを定量化する1次および2次補正項を計算する。
• 確率的および決定的カオス的速いダイナミクスの両方に対して補正を定式化する。
• エッジワース補正を施した遷移確率を用いて、有効拡散挙動をモデル化する確率的低次元系を構築する。
• 数値シミュレーションを用いて、補正済みモデルと古典的ホモジゲニゼーションを比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の時間スケール分離を有する多スケールシステムにおける遅い変数のガウス近似に対する高次補正を、体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 確率的および決定的カオス的速いダイナミクスの両方に対して、1次および2次エッジワース補正の解析的形は何か？
• RQ3 エッジワース補正を施したモデルは、有限時間領域においてどのように古典的ホモジゲニゼーションを上回るか？
• RQ4 補正は、低次元モデルにおける有効拡散挙動の精度をどの程度向上させるか？

主な発見

• エッジワース展開は、有限の時間スケール分離領域における遅い変数の遷移確率のガウス近似に対して明示的な解析的補正を提供する。
• 1次および2次補正項が導出され、確率的および決定的カオス的速いダイナミクスの両方に対して有効であることが示された。
• 補正済みモデルは、古典的ホモジゲニゼーションが見逃す遅いダイナミクスの非ガウス的特徴を捉えている。
• 数値シミュレーションにより、エッジワース補正済み低次元モデルが有効拡散挙動を近似する際、古典的ホモジゲニゼーションを上回ることが確認された。
• この手法により、時間スケール分離が有限であっても信頼性の高いモデル還元が可能となり、無限分離の極限を超えて適用範囲が拡張された。