[論文レビュー] Edit Distance Cannot Be Computed in Strongly Subquadratic Time (unless SETH is false)

Artūrs Bačkurs, Piotr Indyk|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Natural Language Processing Techniques被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、強い指数時間仮説（SETH）が正しくない限り、2つの文字列間の編集距離を強じん二次未塔時間で計算することはできないことを証明している。著者らは、直交するベクトル問題を編集距離に還元し、より速い編集距離アルゴリズムが存在すれば、CNF-SAT に対してより速いアルゴリズムが得られることになり、SETHに反する。したがって、編集距離は SETH-hard であることが示された。

ABSTRACT

The edit distance (a.k.a. the Levenshtein distance) between two strings is defined as the minimum number of insertions, deletions or substitutions of symbols needed to transform one string into another. The problem of computing the edit distance between two strings is a classical computational task, with a well-known algorithm based on dynamic programming. Unfortunately, all known algorithms for this problem run in nearly quadratic time. In this paper we provide evidence that the near-quadratic running time bounds known for the problem of computing edit distance might be tight. Specifically, we show that, if the edit distance can be computed in time $O(n^{2-δ})$ for some constant $δ>0$, then the satisfiability of conjunctive normal form formulas with $N$ variables and $M$ clauses can be solved in time $M^{O(1)} 2^{(1-ε)N}$ for a constant $ε>0$. The latter result would violate the Strong Exponential Time Hypothesis, which postulates that such algorithms do not exist.

研究の動機と目的

• 正確な編集距離計算の条件付き下界を確立すること。
• δ>0 に対して O(n^{2−δ}) 時間で編集距離を計算する任意のアルゴリズムが、強い指数時間仮説（SETH）に反するということを示すこと。
• 編集距離が SETH-hard であることを示し、タイトな条件付き下界を持つ問題のクラスに位置づけること。
• ベクトルガジェットと構造化されたシーケンス上のパターンマッチングを用いて、直交するベクトル問題から編集距離への還元を提供すること。

提案手法

• 各ベクトルに対して、ベクトルの直交性を符号化するための特殊な「ガジェット」シーケンスを構築する。
• 集合 A のガジェットシーケンスを最初の文字列に、集合 B のガジェットシーケンスを2番目の文字列に連結する。
• 部分文字列間の整列コストを測るためのパターンマッチング関数 PATTERN(P₁, P₂) を使用し、直交するペアが存在しない場合には下限が閾値以上であることを証明する。
• 編集距離におけるコストの分離を保証するために、新しい記号（6）を対称的に接頭辞と接尾辞として文字列に追加する変換を適用する。
• 直交するベクトルが存在しない場合には編集距離が Y に等しく、直交するペアが存在する場合には Y−2 に等しいことを、コスト下限に関する補題と到達可能な編集シーケンスを用いて証明する。
• 直交するベクトル問題を編集距離に還元し、高速な編集距離アルゴリズムが存在すれば、CNF-SAT に対しても高速なアルゴリズムが得られることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 編集距離は、強じん二次未塔時間、すなわち δ>0 に対して O(n^{2−δ}) 時間で計算可能だろうか？
• RQ2 広く受け入れられている複雑性仮定の下で、正確な編集距離計算の条件付き下界は何か？
• RQ3 直交するベクトル問題のような既知の SETH-hard 問題から編集距離への還元は存在するか？
• RQ4 動的計画法による編集距離の構造は、現在知られているものより速いアルゴリズムの可能性を秘めているだろうか？

主な発見

• 編集距離が任意の δ>0 に対して O(n^{2−δ}) 時間で計算可能ならば、N 個の変数と M 個の節を持つ CNF-SAT を、M^{O(1)}2^{(1−ε)N} 時間で解ける。ここで ε>0 である。
• これは、CNF-SAT に対してこのようなアルゴリズムが存在しないと主張する強い指数時間仮説（SETH）に反する。
• したがって、編集距離問題は SETH-hard である。つまり、強じん二次未塔時間のアルゴリズムを有する可能性は低い。
• 還元は、ベクトルガジェットと記号 '6' を用いた対称的なパディングを用いて文字列を構築し、直交するベクトルが存在しない場合には編集距離が正確に Y に等しく、直交するペアが存在する場合には Y−2 に等しいことを保証する。
• 証明は、低コストの整列が必ず全体的なベクトルガジェットを整列させなければならないこと、部分的な整列は特別な記号の強制的な削除または置換によってより高いコストを生じることを示すことに依存している。