[論文レビュー] Editing to a Connected Graph of Given Degrees

Petr A. Golovach|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、高々 $k$ 個の辺の追加または削除を許容して、指定された頂点次数を持つ連結グラフにグラフを編集する問題のパrameterized 複雑性を研究する。一般の場合にはサイズ $O(kd^3(k+d)^2)$ の多項式カーネルを提示し、$d$-正則グラフの特殊ケースにおいては $k$ のみをパrameterとして固定パラメータ動的可解性（FPT）を示している。

ABSTRACT

The aim of edge editing or modification problems is to change a given graph by adding and deleting of a small number of edges in order to satisfy a certain property. We consider the Edge Editing to a Connected Graph of Given Degrees problem that asks for a graph G, non-negative integers d,k and a function δ:V(G)->{1,...,d}, whether it is possible to obtain a connected graph G' from G such that the degree of v is δ(v) for any vertex v by at most k edge editing operations. As the problem is NP-complete even if δ(v)=2, we are interested in the parameterized complexity and show that Edge Editing to a Connected Graph of Given Degrees admits a polynomial kernel when parameterized by d+k. For the special case δ(v)=d, i.e., when the aim is to obtain a connected d-regular graph, the problem is shown to be fixed parameter tractable when parameterized by k only.

研究の動機と目的

• 指定された頂点次数を持つ連結グラフに最小限の辺編集で変換する計算複雑性を扱う。
• 次数制約に加えて連結性が要求される場合でも、問題が tractable であるかどうかを調査する。
• 次数指定と連結性の両方の制約を組み合わせた状況下での辺編集のパrameterized 複雑性を特定する。
• パrameter $k$ と $d$ に対して多項式カーネルが存在するかどうかを検討し、$k$ のみをパrameterとして用いた場合に固定パラメータ動的可解性（FPT）になるかどうかを調べる。
• $d$-正則グラフの特殊ケースを検討し、$k$ のみをパrameterとして用いた場合のパrameterized 複雑性を同定する。

提案手法

• 目標次数から逸脱する頂点とその近傍に注目し、カーネル化技術を用いてサイズが有界なインスタンスに帰着する。
• 潜在的な辺編集をモデル化するための補助グラフ $F$ を構築し、次数のずれと連結性要件に基づいて重みを割り当てる。
• 最小重み完全マッチングを $F$ で計算することで、次数制約を満たす最適な辺追加・削除集合を同定する。
• ステップ6で用いられる動的構築プロセスにより、共有頂点を通る経路を維持することで、変更されたコンポーネント間の連結性を保つ。
• 反復的変更プロセスの全行程にわたり連結性が保たれるように、帰納的不変式を用いる。
• マッチングとグラフの連結性に関する既知の結果を活用し、候補解の数を制限し、多項式時間内での解法を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $d + k$ に対して、『与えられた次数の連結グラフへの辺編集』問題は多項式カーネルをもつか？
• RQ2 特殊ケースとして $\delta(v) = d$ がすべての $v$ に対して成り立つ場合、パrameter $k$ のみで問題が固定パラメータ動的可解性（FPT）となるか？
• RQ3 カーネルサイズを $d$ に依存せず $k$ のみに依存する形に改善できるか？
• RQ4 次数制約が $\delta(v) \subseteq \{1,\dots,d\}$ のような区間へ緩和された場合、問題のパrameterized 複雑性はいかなるものか？
• RQ5 コスト付きの辺編集を扱うためにこのアプローチを拡張可能か？その場合の時間計算量は？

主な発見

• パrameter $d + k$ に対して、『与えられた次数の連結グラフへの辺編集』問題はサイズ $O(kd^3(k+d)^2)$ の多項式カーネルをもつ。
• すべての $v$ に対して $\delta(v) = d$ が成り立つ特殊ケースでは、パrameter $k$ のみで問題は固定パラメータ動的可解性（FPT）である。
• アルゴリズムは補助グラフ $F$ における最小重み完全マッチングを計算することで解を構築し、次数制約と連結性制約の両方を満たす。
• 解の正しさは、変更されたコンポーネントを介して連結性が保たれる帰納的議論に依存しており、同じコンポーネントに属する任意の2頂点が編集後も接続されていることを保証する。
• 全体のアルゴリズムは時間 $O^*(k^{O(k^3)})$ で実行され、$k$ の値が小さい場合には効率的である。
• 一般ケースまたは正則ケースにおいて、$k$ のみに依存する多項式カーネルが存在するかは、本稿で未解決のまま残されている。