[論文レビュー] Effect of hyperviscosity on the Navier-Stokes turbulence

Abdelhafid Younsi|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、3次元ナビエ–ストークス方程式に第四階の人工粘性項（$l=2$）を追加することでハイパーレイノルズ正則化を導入し、次元 $d \leq 4$ に対して元の系への強い収束を証明した。正則化系のグローバルアトラクタのハウスドルフ次元およびフラクタル次元が $c_{11} G^{21/20}$ で有界であることが示され、古典的で $G^3$ の境界よりも顕著に改善されており、乱流のための大規模渦解法としての有効性を示唆している。

ABSTRACT

In this paper we modified the Navier-Stokes equations by adding a higher order artificial viscosity term to the conventional system. We first show that the solution of the regularized system converges strongly to the solution of the conventional system as the regularization parameter goes to zero, for each dimension d $\le$ 4. Then we show that the use of this artificial viscosity term leads to truncated the number of degrees of freedom in the long-time behavior of the solutions to these equations. This result suggests that the hyperviscous Navier-Stokes system is an interesting model for three-dimensional fluid turbulence.

研究の動機と目的

• ハイパーレイノルズ正則化が3次元ナビエ–ストークス方程式の長時間ダイナミクスに与える影響を分析すること。
• 次元 $d \leq 4$ に対して正則化系が古典的ナビエ–ストークス方程式に強い収束することを確立すること。
• $l=2$ のハイパーレイノルズ系にグローバルアトラクタが存在することを証明すること。
• フラクタル次元およびハウスドルフ次元のグローバルアトラクタに対する、スケール不変かつ $\varepsilon$ に依存しない上界を、$\varepsilon$-独立に導出すること。
• ランダウ–リフシッツ理論を用いて、乱流の自由度の数の既存の推定値を改善すること。

提案手法

• 3次元ナビエ–ストークス方程式に第四階の粘性項 $\varepsilon (-\Delta)^2 u_\varepsilon$ を追加して正則化する。
• 周期的境界条件を用い、発散なしで平均がゼロの関数に対するソボレフ空間 $H^m(\Omega)$ および $V_s$ における弱化形式を採用する。
• 次元 $d \leq 4$ に対して、$\varepsilon \to 0$ のとき $u_\varepsilon$ が古典的ナビエ–ストークス方程式の解に強い収束することを確立する。
• エネルギーおよび事前推定を用いて、$l=2$ の場合の吸収集合およびグローバルアトラクタ $\mathfrak{A}_\varepsilon$ の存在を証明する。
• ランダウ–リフシッツ理論およびスペクトル推定を適用し、グローバルアトラクタの次元をグラシュフ数 $G$ を用いて有界化する。
• 散乱長スケール $l_\varepsilon = (\nu^3 / \varepsilon)^{1/4}$ およびマクロスコピック長 $l_0 = \lambda_1^{-1/2}$ を用いて次元の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーレイノルズ正則化されたナビエ–ストークス方程式は、次元 $d \leq 4$ において、古典的系に強い収束を示すか？
• RQ2 ハイパーレイノルズ3次元ナビエ–ストークス系のグローバルアトラクタが存在し、有限次元であることを示せるか？
• RQ3 グローバルアトラクタの次元が、グレーシュフ数 $G$ のような物理的パラメータに対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 ハイパーレイノルズ項は乱流の有効自由度の数をどのように低減するか？
• RQ5 古典的 $G^3$ 評価を超えて、次元の境界を改善できるか？

主な発見

• $\varepsilon \to 0$ のとき、ハイパーレイノルズ正則化系の解は、次元 $d \leq 4$ に対して古典的ナビエ–ストークス方程式の解に強い収束を示し、リオンズの予想を裏付けた。
• $l=2$ の場合、3次元周期的設定においてグローバルアトラクタ $\mathfrak{A}_\varepsilon$ が存在する。
• ハウスドルフ次元およびフラクタル次元の両方が、$l_0$ をマクロスコピック長、$l_\varepsilon$ を散乱長スケールとして、$c_{11} (l_0 / l_\varepsilon)^{21/10}$ で有界である。
• グレーシュフ数 $G$ を用いて表すと、次元境界は $\dim_F(\mathfrak{A}_\varepsilon) \leq c_{11} G^{21/20}$ となり、古典的 $G^3$ 評価を改善する。
• 指数 $21/20 = 1.05$ はランダウ–リフシッツ予想の 3 よりも顕著に小さいため、有効自由度の大幅な低減を示している。
• この結果は、ハイパーレイノルズモデルが、乱流の主要なダイナミクスを保持しながら自由度を截断できるため、大規模渦解法として有望であることを確認している。