[論文レビュー] Effect of the shape of periodic forces and second periodic forces on horseshoe chaos in Duffing oscillator

V. Ravichandran, V. Chinnathambi+2 more|ArXiv.org|Aug 4, 2008

Chaos control and synchronization参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、メルニコフ法を用いて、正弦波、方形波、のこぎり波、整流正弦波、正弦波の絶対値という6種類の周期的外力形状が、ダフィング振動子におけるホースシュー・カオスに与える影響を調査する。カオス発生の閾値条件を解析的に導出し、2番目の周期的外力の導入により、メルニコフ関数の符号が変化しない場合でさえもカオスが抑制されることを示した。数値シミュレーションにより、複数の外力形状において予測が確認された。

ABSTRACT

The effect of the shape of six different periodic forces and second periodic forces on the onset of horseshoe chaos are studied both analytically and numerically in a Duffing oscillator. The external periodic forces considered are sine wave, square wave, symmetric saw-tooth wave, asymmetric saw-tooth wave, rectified sine wave, and modulus of sine wave. An analytical threshold condition for the onset of horseshoe chaos is obtained in the Duffing oscillator driven by various periodic forces using the Melnikov method. Melnikov threshold curve is drawn in a parameter space. For all the forces except modulus of sine wave, the onset of cross-well asymptotic chaos is observed just above the Melnikov threshold curve for onset of horseshoe chaos. For the modulus of sine wave long time transient motion followed by a periodic attractor is realized. The possibility of controlling of horseshoe and asymptotic chaos in the Duffing oscillator by an addition of second periodic force is then analyzed. Parametric regimes where suppression of horseshoe chaos occurs are predicted. Analytical prediction is demonstrated through direct numerical simulations. Starting from asymptotic chaos we show the recovery of periodic motion for a range of values of amplitude and phase of the second periodic force. Interestingly, suppression of chaos is found in the parametric regimes where the Melnikov function does not change sign.

研究の動機と目的

• 6種類の異なる周期的外力形状がダフィング振動子におけるホースシュー・カオスに与える影響を分析すること。
• 各外力形状に対して、メルニコフ法を用いてホースシュー・カオス発生の解析的閾値条件を導出すること。
• 2番目の周期的外力の導入によるホースシュー・カオスおよび漸近的カオスの抑制を調査すること。
• 直接的な数値シミュレーションを用いて解析的予測を検証すること。
• メルニコフ関数の符号が変化しないにもかかわらずカオス抑制が発生するパラメータ領域を探索すること。

提案手法

• さまざまな周期的外力下におけるダフィング振動子のホモクリニック軌道に対するメルニコフ関数を計算するため、メルニコフ法の適用。
• 各外力形状について、(f-ω)パラメータ空間における解析的メルニコフ閾値曲線の導出。
• 横断的ホモクリニック交叉が発生する臨界外力振幅の数値計算により、ホースシュー・カオスの発生を特定。
• 分岐図および最大リャプノフ指数を用いて、カオス発生および抑制の確認。
• 適応可能な振幅および位相を有する2番目の周期的外力を導入し、カオス抑制の検討。
• メルニコフ関数の符号が変化しないにもかかわらずカオスが抑制されるパラメータ領域の同定と、数値シミュレーションによる確認。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正弦波、方形波、のこぎり波、整流正弦波、正弦波の絶対値という異なる周期的外力形状は、ダフィング振動子におけるホースシュー・カオス発生にどのように影響を与えるか？
• RQ2 メルニコフ法は、非正弦波的周期的外力によって駆動される系におけるホースシュー・カオス発生の閾値を正確に予測できるか？
• RQ3 2番目の周期的外力の導入が、ダフィング振動子におけるホースシュー・カオスおよび漸近的カオスの抑制に与える影響は何か？
• RQ4 メルニコフ関数の符号が変化しないパラメータ領域においても、カオス抑制が発生する場合があるか？
• RQ5 正弦波の絶対値波形の場合、他の周期的外力形状と比較して、カオス閾値付近の過渡的ダイナミクスはどのように異なるか？

主な発見

• 正弦波の絶対値波形を除くすべての周期的外力形状において、横断的ホモクリニック交叉およびホースシュー・カオスは、メルニコフ閾値曲線のわずか上でのみ観測された。
• 正弦波の絶対値波形の場合、メルニコフ閾値付近では、漸近的カオスの代わりに長時間の過渡的運動に続く周期的吸引子が観測された。
• すべての外力形状において、解析的メルニコフ予測と数値シミュレーションの結果が良好に一致した。
• 2番目の周期的外力の振幅および位相を適切に調整することで、メルニコフ関数の符号が変化しない領域でもホースシュー・カオスの抑制が達成された。
• 分岐図およびリャプノフ指数により、適切な振幅および位相で2番目の外力を適用した場合、カオス状態から周期的運動が回復することが確認された。
• カオス抑制のパラメータ領域が同定され、特に2つの正弦波または2つの正弦波の絶対値波形で駆動される系において、数値的に確認された。