[論文レビュー] Effective Cartan-Tanaka connections on C6-smooth strongly pseudoconvex hypersurfaces M3 of C2

Mansour Aghasi, Joël Merker+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、C⁶滑らかで強擬凸な実超曲面 M³ ⊂ ℂ² に対して、明示的に長さ6までの反復Lie括弧を計算し、定義関数 ϕ のジャンプ延長における微分多項式関係を導出し、それらが8次元の階数付きLie代数に値をとるCartan接続を一意に定めるという、効果的で正規かつ正則なCartan-Tanaka接続を構成する。このLie代数はHeisenberg球面 H³ 上の正則ベクトル場と同型である。

ABSTRACT

In a recent expository article (Notices of the AMS, 58 (2011), no. 1, 20-27), Ezhov, McLaughlin and Schmalz showed how to perform in an effective way Tanaka's prolongation procedure valid generally for filtered structures of constant type when the distribution is equipped with an integrable complex structure, so as to derive the principal curvature invariants and (co)frame(s) associated to strongly pseudoconvex real hypersurfaces M3 in C2, an approach which is alternative and complementary to the `hyperspherical' connection of Elie Cartan, and to the so-called calculi of Fefferman, of Chern-Moser, of Webster. By choosing an initial frame for TM which is explicit in terms of a local graphing function v = f(x, y, u) for M, we provide a Cartan-Tanaka connection all elements of which are completely explicit in terms of f(x, y, u), assuming only C6-smoothness of M. The Gaussian requirement for systematic computational effectiveness then shows - a bit unexpectedly - that the two main curvatures are rational differential expressions in the sixth-order jet of f(x, y, u), the lengths of which are about 1000 pages long on a computer - just for the simplest instance of local embedded CR geometry. Large parts of the memoir aim at formulating general statements that will be useful for further constructions of Cartan-Tanaka connections related to the equivalence problem for (local) embedded CR manifolds whose CR-automorphism group is not semi-simple, cf. e.g. some model lists by Beloshapka.

研究の動機と目的

• C⁶滑らかで強擬凸な実超曲面 M³ ⊂ ℂ² に対して、有効的で正規かつ正則なCartan接続を確立すること。
• グラフ関数 ϕ 及びそのジャンプを用いて、長さ6までの内在的ベクトル場の反復Lie括弧の明示的公式を提供すること。
• ϕ の4次、5次、6次ジャンプにおける微分多項式恒等式を導出し、Cartan接続の構造を制約すること。
• モデルとしてのHeisenberg球面 H³ ⊂ ℂ² が最大対称代数を実現し、接続の基準として機能することを示すこと。
• Cartan接続が、M³ の幾何から自然に引き上げられた主 bundle M³ × H⁵ に一意に定まることを証明すること。

提案手法

• グラフ関数 ϕ(x,y,u) = x² + y² + O(3) を用いて、複素接束 TᶜM を生成する内在的ベクトル場 H₁, H₂ を定義する。
• Levi形式型括弧 T = 1/4[H₁, H₂] を計算し、Υ/4∆² ∂/∂u の形に表現する。ここで Υ は ϕ 及びその微分の C⁴滑らかな関数である。
• 関数 Φᵢ = Aᵢ/(∆²Υ) を導入し、[Hᵢ, T] = ΦᵢT を満たすようにし、長さ6まで反復括弧を再帰的に計算する。
• Φᵢ の反復微分の分子 Aᵢ, Aᵢ,ₖ₁, Aᵢ,ₖ₁,ₖ₂, Aᵢ,ₖ₁,ₖ₂,ₖ₃ を、ϕ の6次までのジャンプに依存する帰納的公式を導出する。
• 括弧構造の一貫性を保証するため、関数 Φᵢ が満たすべき4つの3次微分恒等式を確立する。
• 主 bundle P = M³ × H⁵ 上の接続 ω: TP → g を構成し、8次元Lie代数 g に値をとる。ここで g は hol(H³) と同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C⁶滑らかで強擬凸な M³ ⊂ ℂ² に対して、Cartan-Tanaka接続の存在を保証する、グラフ関数 ϕ の4次、5次、6次ジャンプにおける明示的微分多項式制約は何か？
• RQ2 長さ6までの内在的ベクトル場 H₁, H₂, T の反復Lie括弧は、Cartan接続の構造をどのように決定するか？
• RQ3 Cartan接続 ω: TP → g の明確な形は何か？ そして、それが M³ の幾何に一意に関連づけられる仕組みは何か？
• RQ4 Heisenberg Lie代数の2次コhomologyから得られるコホモロジー的制約は、接続の可積分性および一意性にどのように関係するか？
• RQ5 モデルとしてのHeisenberg球面 H³ は、このようなすべての M³ に対して、Cartan接続の普遍的モデルとしてどの程度の役割を果たすか？

主な発見

• 関数 Φᵢ = Aᵢ/(∆²Υ) は恒等的に H₂(Φ₁) ≡ H₁(Φ₂) を満たし、長さ3までの一貫性が保証される。
• 反復微分の Φᵢ が満たす4つの3次微分恒等式が、正則なCartan接続の存在に不可欠である。
• Cartan接続 ω: TP → g は任意の C⁶強擬凸 M³ ⊂ ℂ² に対して一意に定まり、8次元の階数付きLie代数に値をとり、hol(H³) と同型である。
• 接続は効果的で正規かつ正則であり、主 bundle P = M³ × H⁵ に値をとる。ここで H⁵ は、同型代数 hol(H³, 0) に対応する simply connected 5次元Lie群である。
• Lie代数 g の構造定数は、Heisenberg球面 H³ 上の正則ベクトル場のそれと完全に一致し、H³ がモデルとしての性質を持つことを確認する。
• 階数付きLie代数の2次コhomology を一般式により計算し、δ-作用素と構造定数を用いて基本2次コチェーンの境界を導出し、コサイクル条件を満たす線形方程式系を得る。