[論文レビュー] Effective density for inhomogeneous quadratic forms II: fixed forms and generic shifts

Anish Ghosh, Dubi Kelmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された有理数の不定な二次形式 $ n \geq 3 $ 変数に対して、ほとんどすべてのシフト $ \alpha \in \mathbb{R}^n $ に対して、$ \|v\| \leq t $ の範囲で $ Q_\alpha(v) $ が任意の実数 $ \xi $ を $ t^{-\kappa} $ のオーダーで近似できることを示す有効な密度結果を確立する。ここで、指数 $ \kappa_0 $ の明示的評価は、$ Q $ の符号型に依存する。この手法は、カジランの性質 (T) を持たない正規直交群の表現における有効な平均エルゴード定理とスペクトルギャップ推定に依存する。

ABSTRACT

We establish effective versions of Oppenheim's conjecture for generic inhomogeneous quadratic forms. We prove such results for fixed quadratic forms and generic shifts. Our results complement our companion paper where we considered generic forms and fixed shifts. In this paper, we use ergodic theorems and in particular we establish a strong spectral gap with effective bounds for some representations of orthogonal groups which do not possess Kazhdan's property (T).

研究の動機と目的

• 固定された有理数の不定な二次形式と一般のシフトに対して、オッペンハイマーの予想の有効版を確立すること。
• 同次的力学における効果性問題に取り組み、非同次二次形式の値が実数をどの程度よく近似できるかを定量的に評価すること。
• 二次形式の符号型に依存する近似指数 $ \kappa_0 $ の明示的評価を導出すること。
• 群の作用が均一空間上で働く際の、スケーリングターゲット問題の理解を拡張すること。
• カジランの性質 (T) を持たない正規直交群の表現に対して、有効なスペクトルギャップ推定を構築し、有効なエルゴード定理を可能にすること。

提案手法

• 群 $ G = \mathrm{SO}^+_Q(\mathbb{R}) $ の均一空間上での作用に伴うスケーリングターゲット問題に問題を還元する。
• 軌道上の平均の減衰率を制御するため、単位的表現のスペクトル性質と関連づける有効な平均エルゴード定理を適用する。
• 次元 $ n $ における帰納法を用い、下位ランク部分群 $ G^{(j)} \cong \mathrm{SO}^+(n-j,1) $ への還元を行い、再帰的スペクトルギャップ評価を導く。
• 行列係数の減衰を特徴付けるパラメータ $ \alpha(\pi) = \frac{n-2}{p(\pi)} $ を用い、スペクトルギャップの再帰的制御を可能にする。
• 半直積 $ \tilde{G} = G \ltimes \mathbb{R}^n $ のユニタリ表現 $ \tilde{\pi} = \mathrm{Ind}_{\tilde{G}^\lambda}^{\tilde{G}} \sigma $ を分析し、$ \mathbb{R}^n $-不変ベクトルをもたないものを中心に扱う。
• ブルーガーとサルナックによる還元論を応用し、$ \pi|_{G^{(j)}} $ のスペクトルギャップを全表現のものと関連づけ、$ p(\pi) \leq \kappa(n-2) $ の帰納的制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された有理数の不定な二次形式 $ Q $ に対して、ほとんどすべてのシフト $ \alpha $ に対して、すべての十分大きな $ t $ で $ |Q_\alpha(v) - \xi| < t^{-\kappa} $ が整数解を持つような最適な指数 $ \kappa_0 $ は何か？
• RQ2 近似速度は二次形式の符号型 $ (p,q) $ にどのように依存するか？
• RQ3 カジランの性質 (T) を持たない $ \mathrm{SO}^+(p,q) $ の表現に対して、有効なスペクトルギャップ推定を確立できるか？
• RQ4 スペクトルギャップが性質 (T) によって得られない状況下で、有効な平均エルゴード定理をスケーリングターゲット問題にどの程度適用できるか？
• RQ5 表現のスペクトルギャップと、カルタン部分群に制限された行列係数の減衰率との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 任意の有理数の不定な二次形式 $ Q $ を $ n \geq 3 $ 変数で固定したとき、ほとんどすべてのシフト $ \alpha \in \mathbb{R}^n $ に対して、$ \|v\| \leq t $ かつ $ |Q_\alpha(v) - \xi| < t^{-\kappa} $ となる整数解がすべて十分大きな $ t $ で存在する。ただし $ \kappa < \kappa_0 $ のときである。
• 指数 $ \kappa_0 $ は符号型 $ (p,q) $ に基づいて明示的に計算可能である。例えば、$ (p,q) = (2,1) $ のとき $ \kappa_0 = 1 $、$ (n-1,1) $ のとき $ \kappa_0 = 2 $、$ (4,2) $ または $ (3,3) $ のとき $ \kappa_0 = 3/2 $ である。
• 一般に $ p \geq q > 1 $ の符号型に対しては、$ \kappa_0 = 2\kappa_1 q(p-1) $ と表され、ここで $ \kappa_1 $ は $ n \mod 4 $ に依存する。$ p \approx q $ のとき $ \kappa_0 \approx n/2 $ となる。
• この手法により、$ n = 3,4 $ の場合に最良の境界 $ \kappa_0 = n-2 $ が得られるが、$ n \geq 5 $ の場合、期待される $ n-2 $ よりも弱い境界が得られ、特に $ (n-1,1) $ の場合 $ \kappa_0 = 2 $ となる。
• 証明は、カジランの性質 (T) を持たない $ \mathrm{SO}^+(p,q) $ の表現に対して強い有効なスペクトルギャップを確立し、行列係数の減衰の再帰的制御を可能にする。
• この結果は、有効な平均エルゴード定理が、性質 (T) を持たない群に対しても、下位ランク部分群への還元によって適用可能であることを確認する。これは [ GGN20 ] および [ GK17 ] の技術を拡張するものである。