[論文レビュー] Effective finiteness theorems for maps between canonically polarized compact complex manifolds

Gordon Heier|ArXiv.org|Nov 6, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、固定された正則的極小的コンパクト複素多様体から他の同様の多様体への全射的正則写像の数に対する有効的で明示的な上界を確立する。固定および変動する被覆多様体の両方に対して有効である。有効な多重 canonical 嵌め込みと Chow 多様体の成分に対する境界を用いて、チャーン数および canonical 体積に依存する計算可能な定数を伴う有限性を証明する。

ABSTRACT

Effective bounds for the finite number of surjective holomorphic maps between canonically polarized compact complex manifolds of any dimension with fixed domain are proven. Both the case of a fixed target and the case of varying targets are treated. In the case of varying targets, bounds on the complexity of Chow varieties are used.

研究の動機と目的

• 正則的極小的コンパクト複素多様体間の全射的正則写像の数に対する有効的で計算可能な上界を確立すること。
• リーマン面および一般型曲面における有効的有限性結果を任意次元へ拡張すること。
• 有効な多重 canonical 嵌め込みと Chow 多様体の複雑さを活用して、このような写像のモジュライの定量的制御を提供すること。
• 以前の自己同型群に関する結果を、変動する被覆多様体を含むより広い設定の全射的正則写像へ一般化すること。

提案手法

• 多様体 $X$ の多重 canonical 線束 $kK_X$ の有効な非常に豊富な境界を用いる。ここで $k$ は $n$ と $e$ に関する多項式の上限（ceil 関数）として明示的に計算され、$kK_X$ が非常に豊富であることを保証する。
• 完全線形系統 $|kK_X|$ を用いた $X$ の射影空間への埋め込みにより、代数幾何学的道具の使用を可能にする。
• Kol96 および Gue99 に依拠した次数境界を用いて、$X \times \mathbb{P}^{N_1}$ 内の $n$ 次元サイクルをパラメトライズする Chow 多様体の既約成分数に対する境界を適用する。
• 正則写像の剛性を利用：Chow 多様体内で同じサイクルを誘導する2つの写像は同一であるため、写像の数の数え上げは Chow 多様体の成分数に帰着される。
• 特に $c_i(\Omega_X^1) \cdot K_X^{n-i}$ に対する [DPS94] によるチャーン類の積分数の有効な境界を用いて、被覆多様体の幾何の複雑さを制御する。
• 一般に次元が等しくない写像の一般ケースを、一般超平面切断をとることと反復的 adjunction 公式の適用により、次元が等しいケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意次元において、固定された正則的極小的多様体から他の同様の多様体への全射的正則写像の数に対する有効的上界を確立できるか？
• RQ2 有効な代数幾何学的技法を用いて、このような写像のモジュライ空間の複雑さをどのように制御できるか？
• RQ3 有限性の上界は canonical 体積 $K_X^n$ およびチャーン数にどのように依存するか？
• RQ4 正則写像の剛性を効果的に利用して、数え上げ問題を Chow 多様体の既約成分数に還元できるか？
• RQ5 被覆多様体の次元が元多様体の次元より小さい場合、上界はどのように変化するか？

主な発見

• 固定された $n$ 次元の正則的極小的多様体 $X$ から他の同様の多様体への全射的正則写像の数に対する有効的上界が確立された。この上界は $n$、$K_X^n$、および非常に豊富性の閾値 $k(n)$ から得られる有効な定数にのみ依存する。
• 上界は明示的に $\left((n+1)^2k^n n! 2^{n^2} (2k)^{\frac{1}{2}n(n+1)} (1+2kn)^n K_X^n \right)^{((k^n K_X^n + n)^2 - 1)}$ として与えられ、ここで $k(n)$ は $n$ と $e \approx 2.718$ を含む多項式の上限（ceil）であり、$kK_X$ が非常に豊富であることを保証する。
• 被覆多様体の次元 $n' < n$ が変動する場合、上界は $K_X^n$ を $((n-n')k + 1)^{n'} k^{n-n'} K_X^n$ に置き換えることで修正され、超平面切断後の canonical 体積の変化を反映する。
• 定義式の次数境界を用いて、Chow 多様体 $\operatorname{Chow}_{n,d}(X \times \mathbb{P}^{N_1})$ の関連する既約成分数が境界づけられ、このような写像の数に対する有限な上界推定が得られる。
• この手法は正則写像の剛性に依拠している：2つの写像が Chow 多様体内で同じサイクルを誘導するならば、それらは同一である。よって、写像の数え上げは関連成分の数に帰着される。
• 本論文は、有限単純群の分類に依存する以前の証明とは異なり、有効な代数幾何学的技法を用いた構成的で有効な代替手法を提供する。