[論文レビュー] Effective Height Upper Bounds on Algebraic Tori

Philipp Habegger|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特に $\mathbf{G}_m^n$ 内の不確実な交差の文脈において、代数的トーラス上の代数的点の絶対対数的ウェイリ・ヘイトに有効な上界を確立する。ボンビエリ–ザニエリの高さ上限を精緻化し、それを有効に拡張することで、余次元2の部分群に含まれる曲線上の点に関する有限性結果を証明し、低次元におけるボンビエリ–マッサー–ザニエリの予想を解決するとともに、シムーラ多様体におけるピンクの予想のための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

The main emphasis will be on height upper bounds in the algebraic torus G^{n}_{m}. By height we will mean the absolute logarithmic Weil height. Section 3.2 contains a precise definition of this and other more general height functions. The first appendix gives a short overview of known results in the abelian case. The second appendix contains a few height bounds in Shimura varieties.

研究の動機と目的

• 代数的トーラス上の点の絶対対数的ウェイリ・ヘイトに対する、有効的かつ一様な上界を、余次元が2以上の代数的部分群に含まれる点に対して確立すること。
• ある曲線が真のコセットに含まれない場合、そのような点の集合が有限であるかどうかを解明すること、特にトーリック設定において。
• サブバリアンティの次元が1未満から高次元にまで、$\mathbf{G}_m^3$ 内の曲面への迂回を経由して、有効な高さ上限を次元が1より大きいサブバリアンティへと拡張すること。
• 特異モジュラー値と特別な部分多様体の分析を通じて、特に $Y(1)^2$ において、シムーラ多様体における高さの有界性に関する予想の基盤を提供すること。
• これらの高さ上限が、シムーラ多様体におけるピンクの予想、特に特別な部分多様体に含まれない曲線における不確実な交差に関して、どのような影響を及ぼすかを検討すること。

提案手法

• 次元が1未満の $\mathbf{G}_m^n$ のサブバリアンティに対して、ボンビエリ–ザニエリの高さ上限の有効版を用い、そのサブバリアンティの次数および高さに明示的な依存関係を含める。
• $n \leq 5$ である曲線 $C \to \mathbf{G}_m^n$ を、$\mathbf{G}_m^3$ 内の曲面 $S$ に幾何学的構成により上昇させ、既知の曲面上の高さ上限の適用を可能にする。
• 特異モジュラー値とモジュラー曲線 $Y_0(N)$ の理論を用いて、特に特別な部分多様体上に位置する点に関して、$Y(1)^2$ 内での高さの増大を分析する。
• 解析的数論の結果（多項式的および対数的高さの上限）を、GRHの下でおよび無条件に組み合わせる。
• 点 $p$ に対して最小特別部分多様体 ${\mathcal{S}}(p)$ を導入し、その次数 $\deg_{\mathbf{Q}} S$ を複雑さの指標として用いる。
• $Y(1)^2$ における弱い有効高さ予想を提示し、高さが $O(\log \deg_{\mathbf{Q}} S)$ であるとし、$O((\deg_{\mathbf{Q}} S)^\epsilon)$ の成長を伴う超弱いバージョンを提示することで、GRH 依存を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的閉体 $\overline{\mathbf{Q}}$ 上に定義された、真のコセットに含まれない、かつ余次元が2以上の代数的部分群に含まれる点を持つ、非特異的曲線 $C \subset \mathbf{G}_m^n$ の点の集合は有限か？
• RQ2 サブバリアンティが $\mathbf{G}_m^n$ 内にあり、かつその次元と等しい余次元の代数的部分群に含まれる点に対して、有効な高さ上限を確立できるか？
• RQ3 判別式 $\Delta$ に対して、特異モジュラー値 $j$ の高さの増大率はどのようになるか？ そして、シムーラ多様体における高さ上限にどのような影響を与えるか？
• RQ4 $Y(1)^2$ 内の特別でない曲線に対して、高さが $\mathbf{Q}$ 上の曲線の次数の関数として有界であるような有効な高さ予想を定式化できるか？
• RQ5 有効な高さ上限が、$Y(1)^n$ 内の特別な部分多様体に含まれる余次元が2以上の部分多様体上に位置する曲線上の点の有限性に与える影響は何か？

主な発見

• $n \leq 5$ の場合、真のコセットに含まれず、余次元が2以上の代数的部分群に含まれる非特異的曲線 $C \subset \mathbf{G}_m^n$ 上の点の集合は有限である。
• 証明は有効的である：ボンビエリ–ザニエリの次元 ≤1 のサブバリアンティに対する高さ上限が有効であれば、その有限性結果も有効的であり、曲線の次数および高さの関数として明示的な上限が得られる。
• 基本的判別式 $\Delta$ を持つ特異モジュラー値 $j$ の高さは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、無条件で $c|\Delta|^{\epsilon}$ で上から抑えられ、GRHのもとでは $c \log |\Delta|$ で抑えられる。
• $Y(1)^2$ における弱い有効高さ予想は、非特別な曲線に対して、$\dim \mathcal{S}(p) \leq 1$ を満たす点 $p$ の高さが $O(\log \deg_{\mathbf{Q}} S)$ であると述べており、$\mathcal{S}(p) = Y_0(N)$ を満たす点に対しては無条件で成り立つ。
• 高さの成長が $O((\deg_{\mathbf{Q}} S)^\epsilon)$ である超弱い有効高さ予想は、特別でない曲線が $Y(1)^n$ 内の特別な部分多様体に含まれる余次元が2以上の部分多様体上に位置する点の有限性を示唆する。
• 本稿で確立された有効な高さ上限は、ピンクの予想の文脈における有限性結果を証明するための重要なツールを提供する。特に、ピラの $o$-極小的法と組み合わせると顕著である。