[論文レビュー] Effective mode volumes and Purcell factors for leaky optical cavities

Philip Trøst Kristensen, C. Van Vlack+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

Photonic and Optical Devices参考文献 7被引用数 102

ひとこと要約

本稿は、漏れ出し光キャビティにおける有効モード体積を、外部波動境界条件を満たす準正規モードとしてキャビティモードを扱うことで、きめの細かい定義を提示する。これにより、従来のヘルミート型定義における曖昧さが解消される。非ヒルベルト内積を導入することで、モード体積およびパーセル要因の明確な計算が可能となり、FDTDおよびグリーンテンソル計算による検証で収束性と正確性が確認された。

ABSTRACT

We show that for optical cavities with any finite dissipation, the term "cavity mode" should be understood as a solution to the Helmholtz equation with outgoing wave boundary conditions. This choice of boundary condition renders the problem non-Hermitian, and we demonstrate that the common definition of an effective mode volume is ambiguous and not applicable. Instead, we propose an alternative effective mode volume which can be easily evaluated based on the mode calculation methods typically applied in the literature. This corrected mode volume is directly applicable to a much wider range of physical systems, allowing one to compute the Purcell effect and other interesting optical phenomena in a rigorous and unambiguous way.

研究の動機と目的

• 有限Qファクターを有するキャビティにおける有効モード体積を定義する際の曖昧さを解消すること。
• 非ヒルベルト的ダイナミクスを示す漏れ出しキャビティでは、従来のヒルベルト型定義（標準的内積によるものなど）が無効であることを示すこと。
• PMLを用いたFDTDシミュレーションから得られる準正規モードを用いて、一貫性があり計算的に容易にアクセス可能な有効モード体積の計算手法を確立すること。
• 独立的なグリーンテンソル計算との比較によって、新しい形式の妥当性を検証し、数値誤差の範囲内で一致することを示すこと。
• 実用的なフォトニクス系、特に高Qマイクロキャビティおよびフォトニクスクリスタル膜における、正確で曖昧さのないパーセル要因および光-物質相互作用の計算を可能にすること。

提案手法

• 外部波動境界条件を満たすヘルムホルツ方程式の解としてキャビティモードを定義し、複素振動数を有する準正規モードに対応させる。
• 準正規モードの遠方における指数的発散を考慮した非ヒルベルト内積を導入し、適切な正規化を可能にする。
• この内積に基づいて、従来のヒルベルト型定義（式2）が抱える発散問題を回避する新しい有効モード体積の式（式9）を導出する。
• 文献で一般的に用いられるFDTDシミュレーションで得られたモードをそのまま用いることで、実用的応用への適合性を確保する。
• 2次元および3次元フォトニクスクリスタルキャビティについて、計算されたモード体積と独立的なグリーンテンソル計算結果を比較し、手法の妥当性を検証する。
• PMLを用いたFDTDを用いて漏れ出しキャビティモードをシミュレートし、モード体積評価に必要な場所分布を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ有限Qファクターを有する光キャビティに対して、標準的なヒルベルト型定義の有効モード体積は無効なのであるか？
• RQ2 非ヒルベルト的ダイナミクスを示す漏れ出し光キャビティに対して、一貫性があり曖昧さのない有効モード体積をどのように定義できるか？
• RQ3 新しいモード体積定義は、新たな数値的手法を要せず、標準的なFDTDシミュレーションで得られたモードを用いて計算可能か？
• RQ4 提案された形式は、独立的なグリーンテンソル計算と一致するパーセル要因を導くか？
• RQ5 有効モード体積の新しい定義と従来の定義とを比較した場合、統合領域サイズの関数として、収束性にどのような差が生じるか？

主な発見

• 標準的なヒルベルト型定義による有効モード体積（式2）は、漏れ出しモードの指数的尾部のため、統合領域サイズが増大するにつれて発散し、有限Qファクターキャビティでは無効である。
• 提案された準正規モードに基づく有効モード体積（式9）は、領域サイズに応じて急速に収束し、独立的なグリーンテンソル計算と0.0003未満の推定誤差の範囲内で一致する。
• 3次元フォトニクスクリスタル膜キャビティ（Q ≈ 362）において、新しい手法では $ V_{\text{eff}}^{\text{Q}} $ が速やかに収束するが、従来の $ V_{\text{eff}}^{\text{N}} $ は領域高さに応じて発散する。
• 標準モード体積の発散は、初期段階では線形的であり、その後指数的になり、無限大Q極限でのみ無視可能になる。これにより、ヒルベルト的手法の形式的崩壊が確認される。
• 新しい形式により、実際のシミュレーションや実験で用いられるFDTDモードをそのまま用いて、パーセル要因の曖昧さのない計算が可能となり、一貫性が保証される。
• 結果は、漏れ出し光キャビティの正しい物理的記述は、ヒルベルトモードではなく準正規モードであることを確認し、キャビティQED、センシング、および単一光子源への直接的な影響を示唆する。