[論文レビュー] Effective model of a finite group action

Matthieu Romagny|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散付値環上のスキームにおける有限群作用の有効モデルを導入し、正の特性における群作用の崩壊問題を解決する。$p$ が $|G|$ を割る場合でも、元の群スキーム $G$ を支配する有限平坦群スキーム ${\cal G}$ を構成することにより、特殊ファイバー上で忠実な作用を保証する。この手法は、曲線のガロア被覆やレイノーの群スキームへの応用を持つ。

ABSTRACT

Let $R$ be a discrete valuation ring with fraction field $K$. Let $X$ be a flat $R$-scheme of finite type and $G$ a finite flat group scheme acting on $X$ so that $G\_K$ is faithful on the generic fibre $X\_K$. We prove that there is an effective model of $G$ i.e. a finite flat group scheme dominated by $G$, isomorphic to it on the generic fibre, and extending the action of $G\_K$ on $X\_K$ to an action on all of $X$ that is faithful also on the special fibre. It is unique with these properties. We give examples and applications to degenerations of coverings of curves.

研究の動機と目的

• $p$ が $|G|$ を割る場合の特殊ファイバーにおける群作用の崩壊問題に取り組むこと、特にネロンモデルや曲線のガロア被覆の文脈において。
• $R$ 上の有限平坦群スキーム ${\cal G}$ を構成し、元の群スキーム $G$ を支配するとともに、スキーム $X$ の特殊ファイバー上で忠実に作用させること。
• $X$ が固有でない場合でも、局所的に忠実な作用を保ち、グローバルに貼り合わせ可能な有効な置き換えを提供すること。
• レイノーの群スキームの結果を回復・拡張し、それが $Y$ の既約成分上で定数であり、ノードにまで非ねじれで拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• 特殊ファイバーに制限した作用準同型 $G \times X \to X$ のスキーマ的像として有効モデル ${\cal G}$ を定義し、忠実性を保証する。
• $R$-スキーム上のスキーマ的閉包と支配の概念を用い、$R$-準同型 $G \to {\cal G}$ を通じて ${\cal G}$ を $G$ の商として構成する。
• 特に $p$- torsion 群（$\alpha_p$ や $\mu_p$）に対して、有限平坦群スキームおよびそのホップ代数の理論を応用し、${\cal G}$ を明示的に記述する。
• 二重ウィットベクトルを用いて、有効群作用をモデル化する同種 $\phi_{\lambda,\nu} = F_\lambda - I_{\lambda,\lambda^{p-1}}^\nu$ を利用する。
• ツォルサー方程式における変数変換を用いて具体的なモデルを構成し、${\cal G}$ がこのような同種の核として実現されることを示す。
• ${\cal G}$ が特殊ファイバー上で忠実に作用し、$X$ が固有でなくてもノードにまでねじれなしに拡張可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$ が $|G|$ を割る場合でも、$R$ 上の有限平坦群スキーム ${\cal G}$ を構成し、$G$-作用を持つスキーム $X$ の特殊ファイバー上で忠実に作用させることは可能か？
• RQ2 $G$ から構成された有効モデル ${\cal G}$ は、$Y = X/G$ の滑らか領域におけるレイノーの群スキームを回復または拡張するか？
• RQ3 有効モデル ${\cal G}$ はグローバルに貼り合わせ可能であり、特殊ファイバーの既約成分上で定数であるか？
• RQ4 特殊ファイバーの特異点（ノード）に、基底をねじらずに ${\cal G}$ の作用を拡張することは可能か？
• RQ5 特殊ファイバーにおける ${\cal G}$ の作用が torsor である条件は何か？また、いつ失敗するか？

主な発見

• $R$-スキーム $X$ が有限型かつ特殊ファイバーが非特異であるとき、関数環にややいなごろの位相的条件が課されれば、有限平坦 $R$-群スキーム $G$ が $X$ に作用する場合、常に有効モデル ${\cal G}$ が存在する。
• 有効モデル ${\cal G}$ は $R$ 上の有限平坦群スキームであり、$G$ を支配し、$G_k$ に非自明な核がある場合でも、特殊ファイバー $X_k$ 上で忠実な作用を誘導する。
• $X_K$ が $p$- torsion を持つアーベル・多様体である場合、有効モデルは正確に $A[p]$、すなわち $p$- torsion 部分群スキームに一致する。
• レイノーの群スキームのケースでは、構成によりそれが $Y_k$ の既約成分上で定数であり、ノードにまでねじれなしに拡張可能であることが示される。
• 有効モデル ${\cal G}$ は適切な $\lambda, \nu$ に対して $\ker(\phi_{\lambda,\nu})$ に同型であり、$p > 2$ のときホップ代数は $R[\mathcal{K}_{\lambda,\nu}] = R[u_1,u_2]/(u_1^p - \nu u_1, u_2^p - \nu^p \lambda^{p-1} u_2)$ に一致する。
• 例 2.2.2 において、${\cal G}$ が特殊ファイバー上で位数 $p$ の安定化部分群を持つことが示され、作用は忠実だが自由ではない。このため $X \to Y$ は ${\cal G}$-torsor ではない。