[論文レビュー] Effective Separability of Finitely Generated Nilpotent Groups

Mark Pengitore|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限生成ノルム群における残差的有限性および共役分離可能性について、有効で多項式的有界な漸近的推定値を提供する。非自明な元や異なる共役類を分離するために必要な最小有限商のサイズが、語長の対数のべき乗として増加することを示し、その指数はヒルシュ次元とノルム群のクラスによって決定され、鋭い境界を提供するとともに、マルツェフ完成に関して不変であることを示している。

ABSTRACT

We give effective proofs of residual finiteness and conjugacy separability for finitely generated nilpotent groups. In particular, we give precise asymptotic bounds for a function introduced by Bou-Rabee that measures how large the quotients that are need to separate non-identity elements of bounded length from the identity which improves the work of Bou-Rabee. Similarly, we give polynomial upper and lower bounds for an analogous function introduced by Lawton, Louder, and McReynolds that measures how large the quotients that are need to separate pairs of distinct conjugacy classes of bounded work length using work Blackburn and Mal'tsev.

研究の動機と目的

• 有限生成ノルム群における残差的有限性関数の正確な漸近的境界を確立すること。
• 有効な境界を共役分離可能性に拡張し、非共役な元を区別するために必要な有限商のサイズを定量すること。
• これらの分離関数の漸近的挙動が、群のマルツェフ完成の不変量であることを示すこと。
• 残差的有限性の成長が語長に関して対数的である条件を特定し、群の中心と関連付けること。
• 漸近的境界における指数が、ヒルシュ次元や下部中心系列の最後の非自明な項といった構造的データから計算可能であることを証明すること。

提案手法

• 著者は、語長 $n$ の元が単位元から分離されるために必要な最小有限商のサイズを測る関数 $\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ を定義する。
• ノルム群の構造的性質と上部中心系列の精密化を用いて、上界を証明する。
• 下界は、$C(\log(C\|\gamma_i\|_S))^{\psi_{\text{RF}}(\Gamma)}$ に達するかそれ以上のサイズの商が必要となるような群の元の明示的列を構成することで確立される。
• 証明は、$\Gamma/T(\Gamma)$ のマルツェフ完成に依存しており、$\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ の漸近的挙動がこの完成にのみ依存することを示している。
• 共役分離可能性に関しては、著者は $\operatorname{CD}_{\Gamma}(n)$ を定義し、下部中心系列における群論的構成を用いて多項式的上界および下界を導出する。
• $p$-群および中心的元の性質を用いて、共役分離のための最小商のサイズが $n^{\psi_{\text{RF}}(\Gamma)(c(\Gamma)-1)}$ のように増加することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成ノルム群における残差的有限性関数 $\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ の正確な漸近的増加率は何か？
• RQ2 このような群において、共役分離関数 $\operatorname{CD}_{\Gamma}(n)$ は語長とともにどのように増加するか？
• RQ3 $\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ の漸近的境界における指数は、群の代数的不変量から計算可能か？
• RQ4 $\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ の漸近的挙動は、$\Gamma/T(\Gamma)$ のマルツェフ完成の同型に関して不変か？
• RQ5 どのような条件下で $\operatorname{F}_{\Gamma}(n) \approx (\log n)^{h(\Gamma)}$ が成り立つか？

主な発見

• 残差的有限性関数 $\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ は、$\operatorname{F}_{\Gamma}(n) \approx (\log n)^{\psi_{\text{RF}}(\Gamma)}$ を満たし、ここで $\psi_{\text{RF}}(\Gamma)$ は $(\Gamma/T(\Gamma))_c$ の構造から得られる計算可能な不変量である。
• 指数 $\psi_{\text{RF}}(\Gamma)$ がヒルシュ次元 $h(\Gamma)$ に等しいことは、$\Gamma/T(\Gamma)$ の中心のヒルシュ次元が 1 であることにのみ依存する。
• $\operatorname{F}_{\Gamma}(n)$ の漸近的挙動は、$\Gamma/T(\Gamma)$ のマルツェフ完成の不変量であるため、同型な完成は等価な増加率をもたらす。
• 共役分離可能性に関しては、関数 $\operatorname{CD}_{\Gamma}(n)$ は $n^{\psi_{\text{RF}}(\Gamma)(c(\Gamma)-1)} \preceq \operatorname{CD}_{\Gamma}(n)$ を満たし、上界も一致する。
• 増加率 $\operatorname{F}_{\Gamma}(n) \precnsim (\log n)^3$ は、そのコ compact ラティスを介して $\mathbb{R}^d$ を $\mathbb{Q}$-定義されたノルムリー代数群の中で特徴づける。
• 指数 $\psi_{\text{RF}}(\Gamma)$ は有限指数部分群およびマルツェフ完成の同型に関して保存され、境界の堅牢性を保証する。