[論文レビュー] Effective theory and emergent $SU(2)$ symmetry in the flat bands of attractive Hubbard models

Murad Tovmasyan, Sebastiano Peotta+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、フラットバンドを有する引力的 Hubbard モデルに対する有効な低エネルギー理論を構築し、射影された相互作用ハミルトニアンにおける出現する SU(2) 対称性により、BCS 波動関数が正確な基底状態であることを示した。この対称性は2次相互帯遷移によって破れ、有限の圧縮率を生じる。また、D ≥ 𝒲² という厳密な不等式が証明され、1次元のトポロジカルに非自明なフラットバンドにおける力学的輸送の保証が得られた。

ABSTRACT

In a partially filled flat Bloch band electrons do not have a well defined Fermi surface and hence the low-energy theory is not a Fermi liquid. Neverethless, under the influence of an attractive interaction, a superconductor well described by the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) wave function can arise. Here we study the low-energy effective Hamiltonian of a generic Hubbard model with a flat band. We obtain an effective Hamiltonian for the flat band physics by eliminating higher lying bands via perturbative Schrieffer-Wolff transformation. At first order in the interaction energy we recover the usual procedure of projecting the interaction term onto the flat band Wannier functions. We show that the BCS wave function is the exact ground state of the projected interaction Hamiltonian and that the compressibility is diverging as a consequence of an emergent $SU(2)$ symmetry. This symmetry is broken by second order interband transitions resulting in a finite compressibility, which we illustrate for a one-dimensional ladder with two perfectly flat bands. These results motivate a further approximation leading to an effective ferromagnetic Heisenberg model. The gauge-invariant result for the superfluid weight of a flat band can be obtained from the ferromagnetic Heisenberg model only if the maximally localized Wannier functions in the Marzari-Vanderbilt sense are used. Finally, we prove an important inequality $D \geq \mathcal{W}^2$ between the Drude weight $D$ and the winding number $\mathcal{W}$, which guarantees ballistic transport for topologically nontrivial flat bands in one dimension.

研究の動機と目的

• 摂動的 Schrieffer-Wolff 変換を用いて高エネルギー帯を除去し、フラットバンド部分空間に対する有効ハミルトニアンを導出すること。
• 射影された相互作用ハミルトニアンにおける SU(2) 対称性の出現とその物理的結果を調査すること。
• 相互帯過程による SU(2) 対称性の破れと、その圧縮率への影響を理解すること。
• 1次元フラットバンドにおける超流動重み D と巻き数 𝒲 の間の厳密な関係を確立すること。
• 有効理論から導かれる強磁性ヘイゼンベルグ模型を用いて、フラットバンドにおける超流動重みを検証すること。

提案手法

• 高エネルギー帯を除去し、フラットバンド部分空間に対する有効ハミルトニアンを導出するために、摂動的 Schrieffer-Wolff 変換を実行する。
• フラットバンドの Wannier 関数に Hubbard 相互作用を射影して、有効相互作用ハミルトニアンを取得する。
• 超流動重み計算におけるゲージ不変性を保証するために、マラツァリ＝ヴァンデルビジェンの意味での最大に局在化された Wannier 関数を用いる。
• 重なり関数の最小化を用いて、マラツァリ＝ヴァンデルビジェンの Wannier 関数が重なり関数を最小化することを証明する。
• 射影されたハミルトニアンから有効な強磁性ヘイゼンベルグ模型を導出し、低エネルギー物理を記述する。
• ドリュード重み D と巻き数 𝒲 の間の不等式 D ≥ 𝒲² を証明し、1次元のトポロジカルに非自明なフラットバンドにおける力学的輸送の保証を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 引力的 Hubbard モデルにおけるフラットバンドの低エネルギー有効ハミルトニアンの構造は何か？
• RQ2 射影された相互作用ハミルトニアンに出現する SU(2) 対称性はどのように生じるのか？ その結果は何か？
• RQ3 出現する SU(2) 対称性は何かによって破れるのか？ その影響は系の圧縮率にどのように現れるか？
• RQ4 有効ヘイゼンベルグ模型からフラットバンドにおける超流動重みを一貫して導出できるか？ その条件は何か？
• RQ5 1次元フラットバンドにおけるドリュード重みと巻き数の関係は何か？ これにはどのような輸送的意味が伴うか？

主な発見

• 射影された相互作用ハミルトニアンにおいて、出現する SU(2) 対称性により、BCS 波動関数はフラットバンドの正確な基底状態である。
• 相互帯過程が存在しない場合、SU(2) 対称性により圧縮率が発散するが、2次相互帯遷移を含めると有限の値をとるようになる。
• 超流動重み D は巻き数 𝒲 の二乗によって下から抑えられ、すなわち D ≥ 𝒲² が成り立つ。この不等式により、1次元のトポロジカルに非自明なフラットバンドにおける力学的輸送が保証される。
• 最大に局在化されたマラツァリ＝ヴァンデルビジェンの意味での Wannier 関数が用いられる場合にのみ、有効な強磁性ヘイゼンベルグ模型がゲージ不変な超流動重みを正確に再現する。
• 重なり関数はマラツァリ＝ヴァンデルビジェンの Wannier 関数によって最小化され、フラットバンド部分空間における非局所性の最小化において、これがグローバル最適性を示す。
• 軌道別 Zak 相位はゲージ依存的であるが、それらの和はゲージ不変な全 Zak 相位を与える。この全相位はトポロジカル特徴付けにおいて極めて重要である。