[論文レビュー] Effective Whitney theorem for complex polynomial mappings of the plane

Michał Farnik, Zbigniew Jelonek+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多項関手写像 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ に対して、ホイットニーの定理の有効な版を確立し、臨界曲線 $C(F)$ 及びその像 $\Delta(F)$（特異値曲線）の位相的性質を特定する。$\Delta(F)$ 上の尖点および交点の数、$C(F)$ の genus、無限遠における挙動を明示的な式で与え、非一般な写像に対して一般化された尖点の指数の和の鋭い上界を確立する。

ABSTRACT

We describe the topology of a general polynomial mapping $f:\Bbb C^2 o\Bbb C^2.$

研究の動機と目的

• 固定された次数 $d_1 = \deg f$, $d_2 = \deg g$ を持つ一般の多項関数写像 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ のグローバル位相的構造を記述すること。
• 写像下での臨界曲線 $C(F)$ 及びその像 $\Delta(F)$（特異値曲線）の位相的型を特定すること。
• $\Delta(F)$ 上の尖点および交点の数を計算し、無限遠における特異点の性質を分析すること。
• 一般化された尖点およびその指数の概念を導入・分析し、任意の多項関数写像に対してこれらの指数の和の鋭い上界を確立すること。

提案手法

• 臨界集合 $C(F)$ が $\mathbb{C}^2$ 内で滑らかで連結な曲線であり、$\frac{(d_1+d_2-3)(d_1+d_2-4)}{2}$ 個のハンドルと $d_1+d_2-2$ 個の点を除いた球面と位相的に同値であることを分析する。
• $C(F)$ と特異値曲線 $\Delta(F) = F(C(F))$ の間の有理同型を用いて、両者の genus 及び特異点を関連付ける。
• genus 公式および $\delta$-不変量を用いて、尖点数 $c(F) = d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$ 及び交点数 $d(F)$ を計算し、$\gcd(d_1,d_2)$ に依存する補正項を含む。
• 無限遠における $\Delta(F)$ の挙動を、$d_1 > d_2$ の場合に無限遠の特異点の $\delta$-不変量 $\delta_P$ を計算することで分析する。$d_1 = d_2$ の場合は、滑らかな点の数を数える。
• 点 $a$ における一般化された尖点の指数 $\mu_a$ を、局所環の商の次元を用いて定義し、一般化された摂動下でその近傍に現れる単純尖点の数を数えることを証明する。
• ルーシェの定理および多項関数写像の空間における収束議論を用いて、指数 $\mu_a$ の有限性および不変性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多項関数写像 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$（次数 $d_1$, $d_2$）に対して、臨界曲線 $C(F)$ の位相的構造は何か？
• RQ2 特異値曲線 $\Delta(F) = F(C(F))$ にはいくつの尖点と交点があり、その genus は何か？
• RQ3 特異値曲線 $\Delta(F)$ は無限遠でどのように振る舞うか。特に、特異点および無限遠直線への接し方の観点から。
• RQ4 次数 $\deg f \leq d_1$, $\deg g \leq d_2$ を満たす多項関数写像 $F$ に対して、一般化された尖点の指数の和の最大値は何か？
• RQ5 点 $a$ における一般化された尖点の指数 $\mu_a$ は、近傍での一般摂動における単純尖点の数とどのように関係するか？

主な発見

• 臨界曲線 $C(F)$ は、滑らかで連結な曲線であり、$\frac{(d_1+d_2-3)(d_1+d_2-4)}{2}$ 個のハンドルと $d_1+d_2-2$ 個の点を除いた球面と位相的に同値である。
• 特異値曲線 $\Delta(F)$ は $C(F)$ と有理同型であり、特異点としてのみ尖点と交点を有し、$c(F) = d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$ 個の単純尖点を持つ。
• $\Delta(F)$ 上の交点数は $d(F) = \frac{1}{2}\left[(d_1d_2 - 4)((d_1 + d_2 - 2)^2 - 2) - (\gcd(d_1,d_2) - 5)(d_1 + d_2 - 2) - 6\right]$ である。
• $d_1 = d_2$ のとき、$\Delta(F)$ は無限遠に $d_1 + d_2 - 2$ 個の滑らかな点を持ち、それぞれ無限遠直線に対して重複度 $d_1$ で接する。
• $d_1 > d_2$ のとき、$\Delta(F)$ は無限遠に一つの特異点 $P$ を持ち、$d_1 + d_2 - 2$ 個の分岐を持ち、$\delta$-不変量 $\delta_P = \frac{1}{2}d_1(d_1 - d_2)(d_1 + d_2 - 2)^2 + \frac{1}{2}(-2d_1 + d_2 + \gcd(d_1,d_2))(d_1 + d_2 - 2)$ を持つ。
• 任意の多項関数写像 $F = (f,g)$ に対して $\deg f \leq d_1$, $\deg g \leq d_2$ が成り立つとき、一般化された尖点の指数の和は $\sum_{i=1}^r \mu_{a_i} \leq d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$ を満たし、一般写像では等号が成立しうる。