[論文レビュー] Effects of cross-diffusion on Turing patterns in a reaction-diffusion Schnakenberg model

G. Gambino, Simona Lupo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 38被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、2種の反応拡散 Schnakenberg モデルにおける線形相互拡散がチューリングパターン形成に与える影響を調査する。弱非線形多重スケール解析を用いて、相互拡散が亜臨界的分岐を促進するパラメータ領域を同定した。特に、活性化剤（d_v）の相互拡散が増加するか、阻害剤（d_u）の相互拡散が減少する場合に顕著である。

ABSTRACT

In this paper the Turing pattern formation mechanism of a two component reaction-diffusion system modeling the Schnakenberg chemical reaction coupled to linear cross-diffusion terms is studied. The linear cross-diffusion terms favors the destabilization of the constant steady state and the mechanism of pattern formation with respect to the standard linear diffusion case, as shown in Madzvamuse et al. (J. Math. Biol. 2014). Since the subcritical Turing bifurcations of reaction-diffusion systems lead to spontaneous onset of robust, finite-amplitude localized patterns, here a detailed investigation of the Turing pattern forming region is performed to show how the diffusion coefficients for both species (the activator and the inhibitor) influence the occurrence of supercritical or subcritical bifurcations. The weakly nonlinear (WNL) multiple scales analysis is employed to derive the equations for the amplitude of the Turing patterns and to distinguish the supercritical and the subcritical pattern region, both in 1D and 2D domains. Numerical simulations are employed to confirm the WNL theoretical predictions through which a classification of the patterns (squares, rhombi, rectangle and hexagons) is obtained. In particular, due to the hysteretic nature of the subcritical bifurcation, we observe the phenomenon of pattern transition from rolls to hexagons, in agreement with the bifurcation diagram.

研究の動機と目的

• 反応拡散系における均一定常状態の安定性が線形相互拡散によってどのように変化するかを理解すること。
• 相互拡散が存在する状況で、亜臨界的分岐と超過臨界的分岐の発生条件を特定すること。
• 1次元および2次元領域における空間的パターン（例：ロール、ヘキサゴン、正方形）を分類すること。
• 相互拡散係数 d_u および d_v が有限振幅パターンへの系の安定化または不安定化に果たす役割を調査すること。
• 数値シミュレーションを用いて理論的予測を検証し、ロールからヘキサゴンへのパターン遷移などの遷移を分析すること。

提案手法

• 1次元および2次元領域におけるチューリングパターンの振幅方程式を導出するために、弱非線形（WNL）多重スケール解析を採用した。
• 非線形係数の符号に基づいて、超過臨界的および亜臨界的分岐を区別するためのスターリング＝ランダウ型振幅方程式を導出した。
• 摂動展開における周期的項（secular terms）を排除するために、フレドホルムの選別条件を用い、有界解を保証した。
• 時間および空間の2スケール漸近展開を実施し、パターンの進化を捉えるために遅い時間スケール T_2 および空間スケールを導入した。
• 支配的系を Schnakenberg 力学式を用いて定式化した：f(u,v) = a - u + u²v, g(u,v) = b - u²v、両種の物質に線形相互拡散項を含めた。
• 理論的予測の妥当性を検証し、ロールからヘキサゴンへのパターン遷移を観察するために数値的シミュレーションを実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形相互拡散は反応拡散系における分岐型（超過臨界対亜臨界）にどのように影響を与えるか？
• RQ2 活性化剤の相互拡散係数 d_v は、亜臨界パターン領域のサイズおよび安定性にどのような影響を及ぼすか？
• RQ3 阻害剤の相互拡散係数 d_u は、亜臨界不安定化の発生にどのように寄与するか？
• RQ4 2次元領域において、相互拡散下でどのような空間的パターン（例：ヘキサゴン、正方形、長方形）が出現するか？
• RQ5 ロールからヘキサゴンへのパターン遷移はどのようにして発生し、何がその遷移を駆動するか？

主な発見

• 活性化剤における相互拡散（d_v）は、亜臨界的分岐領域を拡大し、頑健で有限振幅のパターンを促進する。
• 阻害剤における相互拡散（d_u）は、亜臨界領域のサイズを縮小させ、この経路によるパターン形成を困難にする。
• 弱非線形解析により、多重スケール展開から導かれたスターリング＝ランダウ方程式を用いて、パターンの振幅および形状を正確に予測できた。
• 2次元領域では、ロール、ヘキサゴン、正方形、平行四辺形、および混合モード構造を含む多様なパターンが観察された。
• 最も不安定なモードが二重多重性を示し、共鳴が発生する場合、分岐は常に亜臨的となり、ヒステリシス的遷移が生じる。
• 数値的シミュレーションにより、分岐パラメータを変化させた際のロールからヘキサゴンへの遷移が理論的予測と一致することが確認された。