[論文レビュー] Effects of noise on performance of Bernstein-Vazirani algorithm

Archi Gupta, Priya Ghosh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2023

Optical Network Technologies被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、NISQ時代の量子デバイスにおける現実的なノイズをモデル化するため、アダマールゲートに影響を及ぼすガラス状（クエンチド）な不純度のさまざまな形態が、ベルンシュタイン＝ヴァジラニ量子アルゴリズムのロバスト性に与える影響を調査する。全分布において不純度の強度が増すにつれて成功確率が低下することが示されたが、長大なシークレット文字列の場合、性能は不純度の平均値と分散にのみ依存する。これは、ノイズ下でも量子優位性が維持されることを示している。

ABSTRACT

The Bernstein-Vazirani (BV) algorithm offers exceptional accuracy in finding the hidden bit string of a function. We explore how the algorithm performs in real-world situations where noise can potentially interfere with its performance. In order to assess the impact of imperfect equipments, we introduce various forms of glassy disorders into the effect of the Hadamard gates used in the Bernstein-Vazirani circuit. We incorporated disorders of five different forms, viz., Haar-uniform with finite cutoff, spherical Gaussian, discrete circular, spherical Cauchy-Lorentz, and squeezed. We find that the effectiveness of the algorithm decreases with increasing disorder strength in all cases. Additionally, we demonstrate that as the number of bits in the secret string increases, the success probability of correctly guessing the string becomes increasingly insensitive to the type of disorder and instead depends only on the mean and spread of the disorder. We compare our results with the performance of the analogous classical algorithm in the presence of similar noise. When the length of the secret string is small or moderate, the quantum BV algorithm is found to be more efficient compared to the classical algorithm for almost all types of disorders under consideration, unless the strength of the disorder is very high and the disorder follows a discrete circular distribution. However, if we move to extremely large secret strings, the success probability of the disordered BV algorithm merges with the success probability of the disordered classical algorithm for all considered disorders having arbitrary strengths. The limit on the length of the string after which the efficiency of the quantum algorithm becomes equivalent to the classical algorithm depends on the amount of disorder and not on the type of disorder.

研究の動機と目的

• 量子ハードウェアに影響を及ぼす現実的なノイズ条件下でのベルンシュタイン＝ヴァジラニアルゴリズムの性能を評価すること。
• 不純度をアダマールゲートにおけるガラス状（クエンチド）な不純度としてモデル化し、量子ゲート操作の不完全性を表現すること。
• 長大なシークレット文字列において、同一のノイズ条件下での量子アルゴリズムと古典的アルゴリズムの性能を比較すること。
• アルゴリズムの成功確率が不純度の具体的な形態に依存するのか、それともその統計的性質（平均と分散）にのみ依存するのかを特定すること。

提案手法

• アダマールゲートに5種類のガラス状不純度を導入：有限カットオフ付きハール一様分布、球状ガウス分布、離散円形分布、球状コーシー＝ローレンツ分布、および圧縮分布。
• 各ノイズを伴うアダマールゲートを、指定された確率分布に従って抽出されたランダムな角度θkとφkによる回転としてモデル化する。
• 密度行列形式を用いて量子回路の最終状態を計算し、正しいシークレット文字列を測定する確率を評価する。
• 不純度の多数の実現を平均化することで、不純度平均化された性能指標を取得する。
• 中心極限定理を用いて、nが十分に大きい場合、平均と標準偏差が定義されたすべての不純度が性能に同様の影響を及ぼすことを解析的に示す。
• 同様の不純度を古典的論理ゲートに導入した古典的アルゴリズムと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アダマールゲートにおけるガラス状不純度の異なるタイプに対して、ベルンシュタイン＝ヴァジラニアルゴリズムの成功確率はどのように低下するか？
• RQ2 不純度の形（例えば一様、ガウス、コーシー）がアルゴリズムの性能に顕著な影響を及ぼすのか、それとも平均と分散の値のみが重要なのか？
• RQ3 長大なシークレット文字列の場合、アルゴリズムの性能は具体的な不純度タイプに依存せず、統計的パrameter（平均と分散）にのみ依存するようになるか？
• RQ4 特に長大なシークレット文字列において、同一のノイズ条件下での量子アルゴリズムと古典的アルゴリズムの性能はどのように比較されるか？
• RQ5 ノイズの存在下で、ベルンシュタイン＝ヴァジラニアルゴリズムの量子優位性がどのような条件下で崩壊するか？

主な発見

• 全5種類の不純度タイプにおいて、ベルンシュタイン＝ヴァジラニアルゴリズムの成功確率は、不純度の強度が増すにつれて単調に低下する。
• 長大なシークレット文字列（n=10）において、成功確率は不純度の具体的な形態に感度を示さず、平均値と標準偏差にのみ依存する。これは中心極限定理の予測通りである。
• 古典的アルゴリズムは、ノイズのない状態でも文字列長が増えるにつれて指数的に非効率になるため、量子優位性が顕著に際立つ。
• 全不純度タイプおよび不純度強度において、量子アルゴリズムは古典的アルゴリズムを上回るが、中程度のn（n=2）における強い離散円形不純度の場合は、一時的に古典的性能が量子性能を上回る。
• 成功確率のフィッティング曲線は、不純度強度に対して指数関数的減衰を示し、nに依存するパラメータを持つ。n=10の場合、dU=0およびdG=dC=0のとき、減衰はほぼ完全に達成される。
• n=10の場合、全分布（一様、ガウス、コーシー、離散）におけるフィッティングパラメータbは顕著に増加する（例：bU=10、bG=10、bC=9.3、bD=35.4）。これは、高強度の不純度下で成功確率が急激に低下することを示している。