[論文レビュー] Efficiency of change point tests in high dimensional settings

John A. D. Aston, Claudia Kirch|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Global trade and economics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次元多変量設定における変化点検出力の評価のための新しい漸近的枠組みとして、高次元効率性を導入する。投影に基づく検定（オラクル、ランダム、フルパネル法）を比較し、共分散の不正確な指定に対してもより頑健であり、限られたサンプルサイズ下でも高い検出力が維持されることを示す。

ABSTRACT

While there is considerable work on change point analysis in univariate time series, more and more data being collected comes from high dimensional multivariate settings. This paper introduces the asymptotic concept of high dimensional efficiency which quantifies the detection power of different statistics in such situations. While being related to classic asymptotic relative efficiency, it is different in that it provides the rate at which the change can get smaller with dimension while still being detectable. This also allows for comparisons of different methods with different null asymptotics as is for example the case in high-dimensional change point settings. Based on this new concept we investigate change point detection procedures using projections and develop asymptotic theory for how full panel (multivariate) tests compare with both oracle and random projections. Furthermore, for each given projection we can quantify a cone such that the corresponding projection statistic yields better power behavior if the true change direction is within this cone. The effect of misspecification of the covariance on the power of the tests is investigated, because in many high dimensional situations estimation of the full dependency (covariance) between the multivariate observations in the panel is often either computationally or even theoretically infeasible. It turns out that the projection statistic is much more robust in this respect in terms of size and somewhat more robust in terms of power. The theoretic quantification by the theory is accompanied by simulation results which confirm the theoretic (asymptotic) findings for surprisingly small samples. This shows in particular that the concept of high dimensional efficiency is indeed suitable to describe small sample power, and this is demonstrated in a multivariate example of market index data.

研究の動機と目的

• 変化サイズが次元の増加に伴い小さくなる状況における検出力の定量的評価を可能にする、新たな漸近的枠組み「高次元効率性」の開発。
• 変化方向に関する仮定が異なる状況下で、投影ベースの検定（オラクル、ランダム、フルパネル）の性能を比較すること。
• 共分散構造の不正確な指定に対するさまざまな検定統計量の頑健性を評価すること。これは高次元設定において一般的な課題である。
• フル共分散推定が非現実的または不正確な場合でも、投影ベースの手法が高い検出力とサイズ制御を維持できることを示すこと。
• 理論的結果をシミュレーションと実世界の多変量市場インデックスデータ例を用いて検証し、小標本設定における実用性を示すこと。

提案手法

• 検出力の尺度として高次元効率性を提案し、これは次元の増加に伴い変化サイズがどの程度小さくても検出可能であるかを示すレートとして定義される。
• 検定は選択された方向における観測値の線形結合に基づく投影ベースの検定統計量を用いる。最適な性能は、投影方向が真の変化方向と一致する場合に達成される。
• 関数中心極限定理およびHájek–Rényi型不等式を用いて、帰無仮説および局所代替仮説下での投影統計量の漸近的分布を導出する。
• 特定の投影がフルパネル検定を上回る検出力を与える方向の錐（cone）を導入し、変化方向に関する事前知識の利点を定量的に評価する。
• 共分散の不正確な指定が及ぼす影響を、誤ったまたは推定された共分散構造下での検定のサイズと検出力の比較を通じて分析する。
• CUSUM型検定統計量に理論を適用し、共分散行列の固有値およびノルムに関するさまざまな正則性条件の下でのその漸近的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変化サイズが次元の増加に比例して小さくなる場合、変化点検定の検出力は次元の増加にどのように応じて変化するか？
• RQ2 投影方向の選択が変化点検定の検出力に与える影響は何か？ また、投影がフルパネル検定を上回る性能を示す方向の範囲は何か？
• RQ3 投影ベースの検定は、フルパネル検定と比較して、共分散構造の不正確な指定に対してどの程度頑健か？
• RQ4 高次元効率性という理論的概念は、実データ設定における小標本性能を正確に予測できるか？
• RQ5 局所代替仮説下で、オラクル、ランダム、フルパネル検定の相対的効率性は何か？

主な発見

• 高次元効率性は、小さな変化の検出可能性と次元性の間の関係を明確にリンクする意味のある漸近的枠組みを提供し、変化がどの程度小さくても検出可能であるかを定量的に示す。
• 真の変化方向を用いるオラクル投影検定は、最高の効率性を達成し、変化方向が既知の場合にフルパネル検定を上回る。
• 投影ベースの検定は、サイズ制御の観点から共分散の不正確な指定に対して顕著に頑健であり、共分散が不正確であってもサイズの歪みは最小限に抑えられる。
• 検出力の観点からも、特に真の変化方向がより高い性能を示す方向の錐内にある場合には、投影検定はフルパネル検定よりも頑健である。
• シミュレーションにより、高次元効率性が小標本性能を正確に予測することが確認され、中程度の標本サイズ下でも投影ベースの手法がフルパネル検定を上回ることが示された。
• 実際の多変量市場インデックスデータ例において、投影ベースの検定は優れた検出力と頑健性を示し、理論的結果が実用的状況でも有効であることを検証した。