[論文レビュー] Efficiency-Reward Trade-Off in Queues with Dynamic Arrivals

Tianze Qu, Sushil Mahavir Varma|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2026

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ひとこと要約

この論文は、キュー長依存の到着と一般的報酬関数を持つ単一サーバ待ち行列を分析し、長期報酬とキュー長のパレート前線を確立します。市場規模と容量での報酬の曲率が、最適効率報酬トレードオフのために完全動的制御が必要かどうかを決定することを示します。

ABSTRACT

Motivated by applications in online marketplaces such as ride-hailing platforms and payment channel networks, we study a single-server queue with state-dependent arrival control. The service operator dynamically chooses the arrival rate as a function of the current queue length and receives a reward determined by the induced rate, capturing objectives such as throughput, revenue, or social welfare. The goal is to design control policies that simultaneously achieve high long-run operating reward and low congestion, measured by the expected steady-state queue length. We adopt a regret-based framework relative to an optimal benchmark and characterize the efficiency--reward trade-off under an $\varepsilon$-optimal reward constraint. Our results reveal a sharp dichotomy between small-market and large-market regimes. In small markets, including state-independent policies, any admissible control incurs poor efficiency, with the expected queue length growing on the order of $1/\varepsilon$. In contrast, in large markets, state-dependent policies can achieve substantially better performance. When the reward function exhibits sufficient curvature, the optimal queue length scales as $Θ(1/\sqrt{\varepsilon})$; otherwise, it scales as $Θ(\log(1/\varepsilon))$. For each regime, we establish universal lower bounds on the achievable efficiency and construct simple state-dependent policies that attain these bounds. Our results provide a non-asymptotic heavy-traffic characterization for queues with dynamic arrivals and offer structural insights into the design of efficient pricing and admission control policies.

研究の動機と目的

• オンラインプラットフォームにより駆動される内生的到着を含む待ち行列における動的到着制御を動機づける。
• 長期報酬と待ち行列効率をトレードオフする統一的な枠組みを定義する。
• 市場規模と報酬の曲率が最適制御構造と効率スケーリングに与える影響を特徴づける。
• 後悔制約の下でオーダー最適な待ち行列長スケーリングを達成する普遍的な下限と方針構築を提供する。

提案手法

• システムを状態依存到着率 λ(q) ∈ [0, λ_max] および固定サービス率 μ=1 を持つ M/M/1 キューとしてモデル化する。
• 報酬 r(λ) を長期平均 E[F(λ(現状態))] と定義し、流体ベンチマーク F* に対する後悔を測定する。
• 2段階解析を使用する：第一にモーメント制約付き最適化を解く流体ベンチマークを導出し、次にベンチマークに合わせるほぼ最適な状態依存ポリシーを設計する。
• E[bar{q}] の普遍的な下限を証明し、λ_max と F の異なる領域でこれらの境界を達成する方針を構築する。
• F が容量で凹性に似た形かどうかを曲率条件で区分し、完全動的かそれともより単純なポリシーかを示唆する。
• 結果を古典的な過負荷理論および先行する動的価格設定/収益管理研究と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的到着を持つ単一サーバ待ち行列における長期報酬とキュー効率の基本的なトレードオフは何か。
• RQ2 市場規模 λ_max は静的・二到着率・完全動的到着ポリシー間の最適性ギャップにどう影響するか。
• RQ3 容量周りの報酬関数 F の曲率は最適制御構造とキュー長スケーリングにどう影響するか。
• RQ4 ε後悔制約の下での定常的なキュー長の普遍的下限は何で、達成する方針を設計できるか。
• RQ5 結果は古典的な過負荷理論と動的価格設定研究とどう結びつき、どのように拡張するか。

主な発見

Policy class	F regime (concave-like vs not concave-like)	Asymptotic E[bar{q}]
Static arrival rate	Not concave-like	Θ(1/ε)
Static arrival rate	Concave-like	Θ(1/ε)
Two arrival rates	Not concave-like	Θ(log(1/ε))
Two arrival rates	Concave-like	Θ(1/√ε)√(log(1/ε))
Fully dynamic arrivals	Not concave-like	Θ(log(1/ε))
Fully dynamic arrivals	Concave-like	Θ(1/√ε)
Universal lower bound (not concave-like)	-	Ω(log(1/ε))
Universal lower bound (concave-like)	-	Ω(1/√ε)

• λ_max ≤ 1（小市場）の場合、任意の許容ポリシーは E[bar{q}] = Ω(1/ε) をもたらし、動的制御による効率向上はない。
• λ_max > 1（大市場）かつ容量周辺で F が凹性に似ている場合、最適なキュー長は E[bar{q}] = Θ(1/√ε] にスケールし、完全動的ポリシーが境界を達成する。
• λ_max > 1 で F が容量周辺で凹性に似ていない場合、E[bar{q}] は Θ(log(1/ε)) にスケールし、二到着率ポリシーがこの境界を達成する。
• 普遍的下限は非凹性ケースで E[bar{q}] ≥ Ω(log(1/ε))、凹性似ケースで E[bar{q}] ≥ Ω(1/√ε) を ε-後悔制約下に示す。
• 凹性に似た F の場合、順序的最適性を達成するには完全動的到着制御が必要であり、一方で静的または二到着率のようなより単純なポリシーは非凹性領域で順序的最適性を得ることができる。
• この研究は動的到着を持つキューへの過負荷理論を拡張し、単一フレームワーク内で価格設定/収益最大化とスループット最適化を統合する。