[論文レビュー] Efficient algorithm for generating Pauli coordinates for an arbitrary linear operator

Daniel Gunlycke, Mark C. Palenik+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の線形作用素のパウリ座標を O(N² log₂N) 演算で効率的に計算するアルゴリズムを提示している—従来の O(N⁴) アプローチよりも顕著に高速であり、VQE などの量子アルゴリズムにおける実用的量子優位性を可能にする。この手法は高速フーリエ変換とテンソル積構造を活用して基底変換を加速し、量子シミュレータおよび実際のハードウェアを用いた相対論的ボソン系の基底状態エネルギーの正確な計算によって実証されている。

ABSTRACT

Several linear algebra routines for quantum computing use a basis of tensor products of identity and Pauli operators to describe linear operators, and obtaining the coordinates for any given linear operator from its matrix representation requires a basis transformation, which for an $\mathrm N imes\mathrm N$ matrix generally involves $\mathcal O(\mathrm N^4)$ arithmetic operations. Herein, we present an efficient algorithm that for our particular basis transformation only involves $\mathcal O(\mathrm N^2\log_2\mathrm N)$ operations. Because this algorithm requires fewer than $\mathcal O(\mathrm N^3)$ operations, for large $\mathrm N$, it could be used as a preprocessing step for quantum computing algorithms for certain applications. As a demonstration, we apply our algorithm to a Hamiltonian describing a system of relativistic interacting spin-zero bosons and calculate the ground-state energy using the variational quantum eigensolver algorithm on a quantum computer.

研究の動機と目的

• 線形作用素の行列表現からパウリ基底座標への変換における計算ボトルネックを解消すること—従来は O(N⁴) 演算を要する。
• パウリ表現を必要とする量子アルゴリズム（VQE や HHL など）のための効率的前処理を可能とすること。
• 古典的前処理コストを O(N³) 未満に抑えることにより、量子アルゴリズムが全体として量子優位性を達成可能とすること。
• 実際の量子シミュレーションとして、相互作用を有する相対論的ボソン系のシミュレーションにおいて、古典的厳密対角化と実機およびシミュレートされた量子ハードウェア上での量子 VQE を用いた、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• Q ビットのパウリ基底のテンソル積構造に基づく再帰的分解を用いる。ここで N = 2^Q である。
• パウリ行列の対称性と直交性を活用し、FFT に類似した再帰的アルゴリズムを用いてパウリ座標を効率的に計算する。
• 分割統治戦略を用いて、パウリ基底要素との内積を計算することで、作用素のパウリ基底における係数を算出する。これにより、計算量は O(N⁴) から O(N² log₂N) に削減される。
• ヒルベルト空間を再帰的に分割し、部分空間における行列トレースを計算することで変換を実装する。パウリ演算子が完全かつ直交基底を形成することを活用している。
• アルゴリズムは、2モードのフォック空間におけるスピンゼロの相対論的ボソンのハミルトニアンに適用され、2次量子化とモード結合から得られる行列要素を有する。
• 得られたパウリ表現は、IBM Q シミュレータおよび IBM Q サンティアゴ量子プロセッサ上で実行される変分量子固有状態探索器（VQE）の入力として使用された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の線形作用素に対して、行列表現からパウリ座標への基底変換を O(N³) 未満に高速化できるか？
• RQ2 提案された O(N² log₂N) アルゴリズムは、VQE などの量子アルゴリズムにおいて実用的量子優位性を実現できるか？
• RQ3 この前処理ステップを用いた VQE アルゴリズムは、強い相関を持つ量子系の基底状態エネルギーをどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 実機（IBM Q サンティアゴ）での量子シミュレーション結果は、厳密対角化およびシミュレータの結果とどの程度一致するか？

主な発見

• アルゴリズムにより、パウリ座標生成の計算コストは O(N⁴) から O(N² log₂N) に削減され、量子アルゴリズムの前処理がより高速化された。
• 本手法は、2モードの箱内に4つの質量ゼロの相対論的ボソンからなるハミルトニアンに成功裏に適用された。行列要素は2次量子化とモード結合から得られた。
• 基底状態エネルギーは厳密対角化および IBM Q シミュレータ、IBM Q サンティアゴ量子プロセッサ上での VQE により計算され、すべてのプラットフォームで一貫した傾向が得られた。
• 弱い相互作用の条件下では、IBM Q サンティアゴでの VQE 結果は、摂動的推定値 β ≈ 5.374×10⁻³ に近く、統計的ノイズを除けば妥当な精度を示した。具体的には、傾き β_qc ≈ 8.192×10⁻³ が得られた。
• VQE による基底状態エネルギー曲線の全体的な形状は、厳密対角化結果と一致しており、本手法の量子シミュレーションへの実用性を確認した。
• 本研究では、古典的前処理としてこのアルゴリズムを用いることで、現在のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイスでさえも、量子線形代数タスクにおいて量子優位性を達成可能であることを示した。