[論文レビュー] Efficient and Near-Optimal Online Portfolio Selection

Rémi Jézéquel, Dmitrii M. Ostrovskii+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Advanced Bandit Algorithms Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Coverのユニバーサル・ポートフォリオに近い最適なレグレットを達成する、新しいオンライン・ポートフォリオ選択アルゴリズムを提案する。計算時間は1ラウンドあたり ˜O(d⁴(T + d)¹⁴) から ˜O(d²(T + d)) に削減された。この手法は、累積損失のヘッセ行列に基づく、ハイブリッド対数-体積バリアを用いて正則化された対数損失を最小化し、オンライン・ポートフォリオ選択を内点法およびカットプレーン法の最適化手法と結びつける。

ABSTRACT

In the problem of online portfolio selection as formulated by Cover (1991), the trader repeatedly distributes her capital over $ d $ assets in each of $ T > 1 $ rounds, with the goal of maximizing the total return. Cover proposed an algorithm, termed Universal Portfolios, that performs nearly as well as the best (in hindsight) static assignment of a portfolio, with an $ O(d\log(T)) $ regret in terms of the logarithmic return. Without imposing any restrictions on the market this guarantee is known to be worst-case optimal, and no other algorithm attaining it has been discovered so far. Unfortunately, Cover's algorithm crucially relies on computing certain $ d $-dimensional integral which must be approximated in any implementation; this results in a prohibitive $ ilde O(d^4(T+d)^{14}) $ per-round runtime for the fastest known implementation due to Kalai and Vempala (2002). We propose an algorithm for online portfolio selection that admits essentially the same regret guarantee as Universal Portfolios -- up to a constant factor and replacement of $ \log(T) $ with $ \log(T+d) $ -- yet has a drastically reduced runtime of $ ilde O(d^2(T+d)) $ per round. The selected portfolio minimizes the current logarithmic loss regularized by the log-determinant of its Hessian -- equivalently, the hybrid logarithmic-volumetric barrier of the polytope specified by the asset return vectors. As such, our work reveals surprising connections of online portfolio selection with two classical topics in optimization theory: cutting-plane and interior-point algorithms.

研究の動機と目的

• ユニバーサル・ポートフォリオの理論的最適値に近いレグレットを達成する、計算効率の良いオンライン・ポートフォリオ選択アルゴリズムの開発。
• 次元 d に対してスケーリングが著しく悪い既存のユニバーサル・ポートフォリオ実装の、著しい計算時間の短縮。
• オンライン・ポートフォリオ選択と、内点法やカットプレーン法などの古典的最適化手法との間の関係の確立。
• 大幅に向上した計算効率を維持しながら、アフィン不変性を保つレグレット境界の達成。

提案手法

• アルゴリズムは、損失関数のヘッセ行列の行列式の対数を正則化項として用いた累積対数損失を最小化することでポートフォリオを選択する。これは、ハイブリッド対数-体積バリアに相当する。
• 最適化の安定性と収束性を向上させるために、ヘッセ行列の行列式の逆数に基づく時変正則化項を用いる。
• 自己調和性とディキン楕円体幾何を活用し、ヘッセ行列の近似が各ラウンドにわたり正確に保たれることを保証する。
• 局所的な累積損失の曲率に適応する準ニュートン更新戦略を採用し、アフィン不変性を維持する。
• FTRL（Follow-the-Regularized-Leader）に基づき、時変正則化項を用いることで、よりタイトなレグレット境界を達成する。
• ユニバーサル・ポートフォリオが要請する d 次元の積分を避けることで、ヘッセ行列の効率的近似とバリア最小化により実行時間を短縮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元積分を計算しないで、ユニバーサル・ポートフォリオと同等のレグレットを達成できるか？
• RQ2 ユニバーサル・ポートフォリオ風のアルゴリズムの1ラウンドあたりの実行時間を ˜O(d⁴(T + d)¹⁴) から、よりスケーラブルな ˜O(d²(T + d)) に短縮できるか？
• RQ3 ヘッセ行列の対数行列式は、安定的かつ効率的なオンライン・ポートフォリオアルゴリズムを構築する上で果たす役割は何か？
• RQ4 内点法などの古典的最適化手法を、オンライン・ポートフォリオ選択に適応できるか？
• RQ5 計算効率を著しく向上させながら、アフィン不変性のレグレット境界を維持できるか？

主な発見

• 提案アルゴリズムは、定数倍の要因を除き、O(d log(T + d)) のレグレット境界を達成し、ユニバーサル・ポートフォリオの理論的保証と一致する。
• 1ラウンドあたりの実行時間は ˜O(d²(T + d)) に短縮され、従来の ˜O(d⁴(T + d)¹⁴) の実装に比べ顕著な改善が達成された。
• 累積損失のヘッセ行列に基づくハイブリッド対数-体積バリアを用いることで、ポートフォリオ選択と内点法最適化を結びつける。
• ヘッセ行列の近似がディキン楕円体内で正確に保たれることで、幾何的安定性を維持し、アフィン不変性を保つ。
• 時間変動する正則化項を用いた FTRL により、レグレット境界が導出され、正則化パrameter の減衰率が最良の静的ポートフォリオを追跡するように調整されている。
• 解析により、時間変動正則化に起因するバーグレント・ダイバージェンスの差が、レグレット境界の負の項として現れ、探索と活用のトレードオフを制御することが示された。