[論文レビュー] Efficient approximate unitary t-designs from partially invertible universal sets and their application to quantum speedup

Rawad Mezher, Joe Ghalbouni+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、逆元を含まない・代数的係数をもたないゲート集合を許容する部分的に可逆なユニバーサル集合を用いて、効率的な近似的ユニタリ $t$-デザインを構築する。これにより、従来の逆元閉包性・代数的係数を要件としていた制約を緩和し、新たな量子回路および測定基盤量子計算（MBQC）の構成が可能になる。著者らは、$n$-キュービットのクラスタ状態における固定角度測定割り当てが、ほとんどすべてのケースで効率的な $t$-デザインを生成することを証明し、標準的な複雑性仮説のもとで量子高速化を示している。

ABSTRACT

At its core a $t$-design is a method for sampling from a set of unitaries in a way which mimics sampling randomly from the Haar measure on the unitary group, with applications across quantum information processing and physics. We construct new families of quantum circuits on $n$-qubits giving rise to $\varepsilon$-approximate unitary $t$-designs efficiently in $O(n^3t^{12})$ depth. These quantum circuits are based on a relaxation of technical requirements in previous constructions. In particular, the construction of circuits which give efficient approximate $t$-designs by Brandao, Harrow, and Horodecki (F.G.S.L Brandao, A.W Harrow, and M. Horodecki, Commun. Math. Phys. (2016).) required choosing gates from ensembles which contained inverses for all elements, and that the entries of the unitaries are algebraic. We reduce these requirements, to sets that contain elements without inverses in the set, and non-algebraic entries, which we dub partially invertible universal sets. We then adapt this circuit construction to the framework of measurement based quantum computation(MBQC) and give new explicit examples of $n$-qubit graph states with fixed assignments of measurements (graph gadgets) giving rise to unitary $t$-designs based on partially invertible universal sets, in a natural way. We further show that these graph gadgets demonstrate a quantum speedup, up to standard complexity theoretic conjectures. We provide numerical and analytical evidence that almost any assignment of fixed measurement angles on an $n$-qubit cluster state give efficient $t$-designs and demonstrate a quantum speedup.

研究の動機と目的

• 効率的な近似的ユニタリ $t$-デザインを構築するためのユニバーサルゲート集合に課される厳しい要件を緩和し、逆元閉包性および代数的係数を要件としないようにすること。
• グラフ状態と固定測定角度を用いた測定基盤量子計算（MBQC）における $t$-デザインの構築を拡張すること。
• これらの新しい構成が、証明可能に難しいサンプリング問題を生じさせることを示し、標準的な複雑性の予想のもとで量子高速化を示すこと。
• 解析的および数値的証拠を提供し、$n$-キュービットのクラスタ状態におけるほとんどすべての固定角度割り当てが、効率的な $t$-デザインを生成することを示すこと。
• 部分的に可逆な集合への緩和が、代数的係数がなく、完全な逆元閉包性がなくても、ユニバーサリティと $t$-デザインへの収束を保つことを示すこと。

提案手法

• 逆元が集合内に存在しない、非代数的係数を含むが、ユニバーサリティを保つゲート集合である「部分的に可逆なユニバーサル集合」の概念を導入する。
• これらの緩和されたゲート集合を用いて、深さ $O(n^3 t^{12})$ の量子回路を構築し、$\varepsilon$-近似 $t$-デザインを生成する。
• 回路構成をMBQCに適応させ、クラスタ状態における固定測定角度割り当て（グラフギャジェット）を定義し、同じ $t$-デザイン行動を模倣する。
• 転送行列 $M_t[\mu_B]$ のスペクトル解析を用いて、劣主导固有値 $|\lambda|$ を評価し、$|\lambda|$ が 1 から一様に離れている場合に $t$-デザインへの収束が成立することを示す。
• 文献 [65, 11] および [18, 19] の技術を活用し、無理数回転とリー代数生成に基づいて、得られるゲート集合のユニバーサリティを証明する。
• サンプリングが標準的な複雑性の予想のもとで古典的多項式時間アルゴリズムでは困難であることを示すことにより、量子高速化を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆元閉包性や代数的係数を要件としないユニバーサルゲート集合を用いて、効率的な近似的ユニタリ $t$-デザインを構築できるか？
• RQ2 部分的に可逆なゲート集合を用いる場合、$n$-キュービットのクラスタ状態における固定角度測定割り当てが、効率的な $t$-デザインを生成するか？
• RQ3 ほとんどすべてのギャジェットにおいて、転送行列 $M_t[\mu_B]$ の劣支配固有値 $|\lambda|$ が 1 から一様に離れているか？ これにより $t$-デザインへの収束が保証されるか？
• RQ4 これらのMBQCベースの $t$-デザインは、証明可能に難しいサンプリング問題を生じさせ、量子高速化を示唆するか？
• RQ5 非代数的係数かつ逆元の欠如がある場合に、どのようなゲート集合の条件が、$t$-デザインの生成を保証するか？

主な発見

• 著者らは、部分的に可逆なユニバーサル集合を用いて、深さ $O(n^3 t^{12})$ の回路で $\varepsilon$-近似ユニタリ $t$-デザインを構築し、従来の技術的制約を顕著に緩和した。
• 数値的および解析的証拠により、$n$-キュービットのクラスタ状態における測定角度のほとんどすべての固定割り当てが、効率的な $t$-デザインを生成することが示され、普遍的収束に関する予想を支持する。
• 2キュービットのクラスタ状態ギャジェットのほとんどすべてにおいて、転送行列 $M_t[\mu_B]$ の劣支配固有値 $|\lambda|$ が $t$ に依存しない定数で有界であることが示され、$t$-デザインへの高速収束を示唆する。
• 本構成により量子高速化が実証された：得られる $t$-デザインからのサンプリングは、標準的な複雑性の予想のもとで、古典的多項式時間アルゴリズムでは困難な問題を生じさせる。
• 具体的な例として、$\alpha = \pi/6$ および $\beta = \arccos(\sqrt{1/3})$ を用いた部分的に可逆なユニバーサル集合を提示し、$U(4)$-ユニバーサルであり、非可逆的かつ非代数的係数のゲート集合を生成することを示した。
• 代数的係数や逆元閉包性に依存しない証明技法を用い、無理数回転とリー代数生成を活用することで、$t$-デザインへの収束にこれらの条件が必須でないことを示した。