[論文レビュー] Efficient Blind Compressed Sensing Using Sparsifying Transforms with Convergence Guarantees and Application to MRI

Saiprasad Ravishankar, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 68被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、極めて低減されたMRI k-spaceデータから画像を再構築するとともに、スパース化変換を同時に学習する、ブロードに収束するブロック座標降下法を提案する。この手法は、少なくとも部分的なグローバルおよびローカル最小解である臨界点への収束を保証し、スパース化変換の事前知識がなくても、高速かつ高品質なMRI再構築を可能にする。

ABSTRACT

Natural signals and images are well-known to be approximately sparse in transform domains such as Wavelets and DCT. This property has been heavily exploited in various applications in image processing and medical imaging. Compressed sensing exploits the sparsity of images or image patches in a transform domain or synthesis dictionary to reconstruct images from undersampled measurements. In this work, we focus on blind compressed sensing, where the underlying sparsifying transform is a priori unknown, and propose a framework to simultaneously reconstruct the underlying image as well as the sparsifying transform from highly undersampled measurements. The proposed block coordinate descent type algorithms involve highly efficient optimal updates. Importantly, we prove that although the proposed blind compressed sensing formulations are highly nonconvex, our algorithms are globally convergent (i.e., they converge from any initialization) to the set of critical points of the objectives defining the formulations. These critical points are guaranteed to be at least partial global and partial local minimizers. The exact point(s) of convergence may depend on initialization. We illustrate the usefulness of the proposed framework for magnetic resonance image reconstruction from highly undersampled k-space measurements. As compared to previous methods involving the synthesis dictionary model, our approach is much faster, while also providing promising reconstruction quality.

研究の動機と目的

• スパース化変換が事前に未知である場合に、極めて低減されたMRI k-spaceデータから画像を再構築する課題に対処すること。
• ブラインド圧縮センシングの文脈で、画像の再構築とスパース化変換の学習を同時に実行する効率的な最適化フレームワークの開発。
• ブロック座標降下法を用いた非凸なブラインド圧縮センシング定式化における理論的収束保証の提供。
• 従来の合成辞書ベース手法と比較して、より高速な再構築速度と競争力のある画像品質を達成すること。

提案手法

• 画像、スパース化変換、測定整合性項を交互に更新するブロック座標降下法を採用。
• 非凸最適化定式化を用い、変換係数へのスパarsity促進ペナルティと、バリア関数によるユニタリティ制約を組み込む。
• 画像および変換変数に対して最適な閉形式更新を適用し、計算効率を確保。
• 線形測定モデル $Ax = y$ を強制するためにラグランジュ乗数を用いた測定整合性項を組み込む。
• スパース化変換領域におけるスパarsityを強制するため、ソフトスレッショーディングに類似した演算子 $H_s(\cdot)$ を使用。また、変換のユニタリティを維持するためのバリア関数 $\varphi(W)$ を導入。
• 非凸設定下でも、少なくとも部分的なグローバルおよびローカル最小解である臨界点へのグローバル収束を保証する、新しい収束解析を提案。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸な最適化問題を有するブラインド圧縮センシングを、非凸性にもかかわらずグローバルに収束可能にすることができるか？
• RQ2 スパース化変換の事前知識がなくても、極めて低減されたMRI測定値から効率的にスパース化変換を学習できるか？
• RQ3 非凸目的関数を伴うブラインド圧縮センシングにおけるブロック座標降下法の理論的収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 提案手法は、従来の合成辞書ベースのアプローチと比較して、より高速な再構築速度を達成できるか、かつ画像品質を維持または向上できるか？
• RQ5 再構築画像および学習済み変換の品質について、スパarsityおよび測定整合性の観点からどのような保証が可能か？

主な発見

• 提案されたブロック座標降下法は、非凸目的関数の臨界点へのグローバル収束を保証し、その臨界点は少なくとも部分的なグローバルおよびローカル最小解であることが保証される。
• 合成辞書ベースのブラインド圧縮センシング手法と比較して、著しく高速な再構築速度を達成しながらも、競争力のある画像品質を維持している。
• 理論的分析により、初期値に依存しない収束が確認され、最終的な収束点は初期値のみに依存することが判明。
• MRIデータに対する実験結果から、学習されたスパース化変換が、極めて低減されたk-spaceデータから高品質な画像再構築を可能にすることが示された。
• 再構築速度の面で既存手法を上回り、初期値に強く依存しない安定した収束挙動を示し、複数回の試行においても一貫性のある性能を発揮した。