[論文レビュー] Efficient Circuits for Quantum Walks

Chen-Fu Chiang, Daniel Nagaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意のスパースな古典的ランダムウォークに基づく量子ウォークを実装するための効率的な量子回路構成を提示している。GroverとRudolphの方法を拡張して共形確率分布を準備する手法を採用することで、スパarsityに対して線形スケーリング、逆精度に対して多対数スケーリングを達成し、従来の方法がスパarsityに対して2次関数的、精度に対して多項式的スケーリングであったのに対し、顕著な改善を実現した。

ABSTRACT

We present an efficient general method for realizing a quantum walk operator corresponding to an arbitrary sparse classical random walk. Our approach is based on Grover and Rudolph's method for preparing coherent versions of efficiently integrable probability distributions. This method is intended for use in quantum walk algorithms with polynomial speedups, whose complexity is usually measured in terms of how many times we have to apply a step of a quantum walk, compared to the number of necessary classical Markov chain steps. We consider a finer notion of complexity including the number of elementary gates it takes to implement each step of the quantum walk with some desired accuracy. The difference in complexity for various implementation approaches is that our method scales linearly in the sparsity parameter and poly-logarithmically with the inverse of the desired precision. The best previously known general methods either scale quadratically in the sparsity parameter, or polynomially in the inverse precision. Our approach is especially relevant for implementing quantum walks corresponding to classical random walks like those used in the classical algorithms for approximating permanents and sampling from binary contingency tables. In those algorithms, the sparsity parameter grows with the problem size, while maintaining high precision is required.

研究の動機と目的

• 任意のスパースな古典的ランダムウォークに対応する量子ウォーク演算子の効率的量子回路実装を開発すること。
• 既存の手法において、特に大規模または高精度な問題に対して量子ウォークステップを実装する際の高いリソースコストを緩和すること。
• 遷移確率の状態準備を最適化することで、量子ウォークステップのゲート数とキュービット数を削減すること。
• 各ウォークステップの複雑さを最小限に抑えることで、特に多項式的スピードアップを達成する量子ウォークベースのアルゴリズムを実用可能にする。
• 恒久的マーカフ連鎖を用いる問題（例：パーマネント近似、連続表サンプリング）に適用可能なスケーラブルなフレームワークを提供すること。

提案手法

• 量子ウォーク設定に適応したGroverとRudolphの方法を、効率的に積分可能な確率分布の重ね合わせ状態を準備するものに応用する。
• 遷移確率の再帰的ツリー構造による分解を用いて、所望の重ね合わせ状態を準備する制御回転を構築する。
• 累積確率に基づいて動的に計算される角度θを用いる制御回転回路を採用し、正確な振幅準備を実現する。
• 制御レジスタSから出力レジスタRへ重ね合わせを転送するマッピング回路Mを導入し、クリーニング回路Cによるアンコンピューテーションを実行する。
• アーキテクチャにアダルトキュービットとDAC（差分角度計算）回路を導入し、2分木構造を用いて回転角度θを高精度で計算する。
• 中間レジスタおよびアダルトキュービットをアンコンピューテーションすることで、コherenとリソースオーバーヘッドを低減し、フォールトトレラント実装を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のスパースな古典的ランダムウォークに対して、ゲート数とキュービット数を最小限に抑えた効率的な量子ウォークステップの実装は可能か？
• RQ2 本手法の複雑さは、スパarsityと所望の精度に応じて、従来のアプローチと比較してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 本手法は、パーマネント近似や連続表サンプリングなどの問題に用いられる複雑な古典的マーカフ連鎖に適用可能か？
• RQ4 量子ウォーク状態準備における、回路の深さ、ゲート数、精度の最適なトレードオフは何か？
• RQ5 提案手法は、以前の一般化された量子ウォーク構成と比較して、より優れた漸近的スケーリングを達成するか？

主な発見

• 提案手法はスパarsityパラメータdに対して線形スケーリング、逆精度1/εに対して多対数スケーリングを達成し、総ゲート数がO(md⋅poly(log d, log(1/ε)))となる。
• 従来の一般的手法がdに対して2次関数的、1/εに対して多項式的スケーリングであったのに対し、顕著な漸近的優位性を示した。
• 必要なキュービット数はO(dm + dt + poly(t) + log d)とスケーリングされ、アダルトキュービットとレジスタ使用の正確な制御が可能である。
• 回路は高い忠実度を維持しており、t = Ω(log d + log(1/ε))のとき、最終ユニタリ操作における誤差がεで有界であることが保証されている。
• 特にスパarsityが増大し、高精度を要する問題（例：パーマネント近似、バイナリ連続表からのサンプリング）に対して特に効果的である。
• 実装はモジュール型かつ汎用的であり、任意のdスパースな確率行列Pに対し、効率的な量子ウォーク演算子の構築を可能にする。