[論文レビュー] Efficient Compressive Phase Retrieval with Constrained Sensing Vectors

Sohail Bahmani, Justin Romberg|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 15被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、非一様部分空間から抽出された制約付きセンシングベクトルを用いて、スパース信号の効率的かつロバストな圧縮測定位相回復のための2段階凸最適化手法を提案する。低ランク構造とスパース構造を逐次的ノルム最小化と$β$-ノルム最小化により分離することで、情報理論的下界に一致する$\mathsf{O}(k\log\frac{d}{k})$の測定数で正確な回復を達成し、標準的な仮定のもとでノイズにロバストであることを保証する。

ABSTRACT

We propose a robust and efficient approach to the problem of compressive phase retrieval in which the goal is to reconstruct a sparse vector from the magnitude of a number of its linear measurements. The proposed framework relies on constrained sensing vectors and a two-stage reconstruction method that consists of two standard convex programs that are solved sequentially. In recent years, various methods are proposed for compressive phase retrieval, but they have suboptimal sample complexity or lack robustness guarantees. The main obstacle has been that there is no straightforward convex relaxations for the type of structure in the target. Given a set of underdetermined measurements, there is a standard framework for recovering a sparse matrix, and a standard framework for recovering a low-rank matrix. However, a general, efficient method for recovering a jointly sparse and low-rank matrix has remained elusive. Deviating from the models with generic measurements, in this paper we show that if the sensing vectors are chosen at random from an incoherent subspace, then the low-rank and sparse structures of the target signal can be effectively decoupled. We show that a recovery algorithm that consists of a low-rank recovery stage followed by a sparse recovery stage will produce an accurate estimate of the target when the number of measurements is $\mathsf{O}(k\,\log\frac{d}{k})$, where $k$ and $d$ denote the sparsity level and the dimension of the input signal. We also evaluate the algorithm through numerical simulation.

研究の動機と目的

• スパース信号の圧縮測定位相回復に対して、最適な測定数を達成する効率的かつロバストな手法の不足を解消すること。
• 持ち上げられた行列形式における低ランクとスパース構造を同時に回復する課題を克服すること。
• 空間光変調器や散乱媒体を用いた構造的照明を有するシステムにおける実用的回復を可能にすること。
• ノイズとスパース制約のもとで回復精度の理論的保証を提供すること。

提案手法

• 2段階の再構成フレームワークを用いる：まず核ノルム最小化により低ランク行列を回復し、次に$\ell_1$-最小化によりスパース信号を回復する。
• 各センシングベクトル$\boldsymbol{a}_i$を$\boldsymbol{a}_i = \boldsymbol{\varPsi}^T \boldsymbol{w}_i$として、固定された低次元部分空間から抽出する。ここで$\boldsymbol{w}_i \sim \mathcal{N}(0, \boldsymbol{I})$である。
• スパース信号$\boldsymbol{x}^\star$をランク1行列$\boldsymbol{X}^\star = \boldsymbol{x}^\star \boldsymbol{x}^{\star T}$に持ち上げることで、2次測定を線形測定に変換する。
• 線形作用素$\mathcal{A}$を用いて$\boldsymbol{X}^\star$を測定値$\boldsymbol{y} = \mathcal{A}(\boldsymbol{X}^\star) + \boldsymbol{z}$にマッピングし、凸的再構成を可能にする。
• 測定モデルのもとで安定な再構成を保証するため、$2k$-スパースベクトルに対する制限等長性性質（RIP）を用いる。
• 射影と誤差バウンディング解析を適用し、有界ノイズのもとで最終的な推定値が真の信号から$\mathsf{O}(\varepsilon / \sqrt{n})$以内に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的センシングベクトルを用いて、スパース信号の圧縮測定位相回復において最適な測定数を達成できるか？
• RQ2 低ランクとスパース再構成段階を分離することで、ノイズ下でも安定的かつロバストな再構成が達成できるか？
• RQ3 センシングベクトルが部分空間に制約されている場合に、$\mathsf{O}(k\log(d/k))$測定数での回復精度を保証できるか？
• RQ4 非一様部分空間からのセンシングが、位相回復のロバスト性と精度に与える影響は何か？
• RQ5 理論的保証を維持したまま、非ガウス分布のセンシングベクトルへフレームワークを拡張可能か？

主な発見

• 提案手法の2段階法は、情報理論的下界に一致する$\mathsf{O}(k\log(d/k))$の測定数で$k$-スパース信号の正確な回復を達成する。
• 誤差は$\left\|\boldsymbol{E}_0 + \boldsymbol{E}_1\right\|_F \leq \frac{2C(1+\delta_{2k})\varepsilon}{\gamma\sqrt{n}}$でバウンディングされ、$\gamma > 0$（$\delta_{2k} < 0.216$のとき）となるため、ノイズ下でも安定性が保証される。
• ノイズ$\left\|\boldsymbol{z}\right\|_2 \leq \varepsilon$に対して、誤差伝搬と射影解析を丁寧に処理することでロバスト性を保証する。
• 標準的な仮定のもとで理論的保証が成立する：$\boldsymbol{w}_i$がガウス分布、$2k$-スパースベクトルに対するRIP、有界ノイズ。
• 数値シミュレーションにより、手法の精度と効率性が確認され、理論的測定数とロバスト性が妥当であることが検証された。
• 空間光変調器や散乱媒体を用いた実用的イメージングシステムへも適用可能である。