[論文レビュー] Efficient conversion from rotating matrix to rotation axis and angle by extending Rodrigues' formula

Kuo Kan Liang|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2018

Advanced Measurement and Metrology Techniques被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ロドリゲスの回転公式の単純な拡張を提案する。この手法により、回転行列と与えられた回転軸から、回転軸の反対称行列と回転行列の積のトレースを用いて sinθ を抽出することで、直接的かつ明確に回転角を計算可能となる。この方法により、手動による介入を要せず、3次元幾何計算における効率性と正しさが著しく向上する。

ABSTRACT

In computational 3D geometric problems involving rotations, it is often that people have to convert back and forth between a rotational matrix and a rotation described by an axis and a corresponding angle. For this purpose, Rodrigues' rotation formula is a very popular expression to use because of its simplicity and efficiency. Nevertheless, while converting a rotation matrix to an axis of rotation and the rotation angle, there exists ambiguity. Further judgement or even manual interference may be necessary in some situations. An extension of the Rodrigues' formula helps to find the sine and cosine values of the rotation angle with respect to a given rotation axis is found and this simple extension may help to accelerate many applications.

研究の動機と目的

• ロドリゲスの公式を用いて回転行列から回転角を回復する際の曖昧性を解消すること。
• 回転軸が既知の状態で、正しい回転角を選択するための手動またはヒューリスティックな判断の必要性を排除すること。
• 回転行列から回転軸-角度表現に変換するための計算的に効率的で曖昧でない手法を提供すること。
• 回転行列と軸-角度表現の間で繰り返し変換が必要なアプリケーションにおけるコードを簡素化・明確化すること。

提案手法

• 回転軸 n から導かれる反対称行列 N と回転行列 R の積のトレースを用いて、sinθ を求める式を導出することにより、ロドリゲスの公式を拡張する。
• 標準的なロドリゲスの公式を用いて Tr(R) から cosθ を計算し、恒等式 Tr(NR) = -2sinθ を用いて sinθ を計算する。
• 2引数の逆正 tangent 関数（atan2）を用いて、sinθ と cosθ の両方から θ を一意に特定し、符号の曖昧性を解消する。
• 標準的な行列演算とトレース計算のみを用いるため、計算コストが非常に低いことを保証する。
• 固有値系の解析を用いて、与えられた回転行列から回転軸と角度を回復する。
• Mathematica を用いた数値例を通じて、-n も固有ベクトルである場合でさえも、手動での選択なしに正しい角度 θ = π/6 を正しく回復できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転軸が既知の状態で、回転行列から回転角を回復する際の符号の曖昧性は、どのように解消できるか？
• RQ2 ロドリゲスの公式にどのような拡張を施すと、行列のトレースのみを用いて直接的かつ曖昧でない回転角を計算できるか？
• RQ3 提案手法により、軸-角度変換における手動判断や複雑なヒューリスティクスの必要性を低減または排除できるか？
• RQ4 実用的応用において、提案手法の計算コストは従来手法と比較してどの程度か？
• RQ5 この拡張は、3次元幾何計算およびロボット工学分野のアプリケーションにおけるコードの明確さ、正しさ、パフォーマンスにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案手法では、Tr(NR) = -2sinθ を用いて、回転軸 n から導かれる反対称行列 N と回転行列 R から直接的に sinθ を計算する。
• Tr(R) から得られる cosθ と Tr(NR) から得られる sinθ を組み合わせ、atan2 関数を用いることで、正しい回転角 θ が一意に特定され、曖昧性が解消される。
• N と R は標準的なロドリゲスの公式の応用で既に計算済みであるため、計算オーバーヘッドは最小限に抑えられる。
• 数値例により、n = (1/√2, 1/√2, 0) の軸に対して θ = π/6 を正しく回復できることを確認した。-n も固有ベクトルである場合でも同様に成立する。
• 事前に回転方向を知る必要もなく、手動での介入も不要なため、自動的に正しい軸-角度ペアが選択可能である。
• 本手法は一般性があり、任意の3次元回転行列に適用可能であり、ロボット工学、コンピューターグラフィックス、幾何計算分野における軸-角度変換の堅牢で効率的なソリューションを提供する。