[論文レビュー] Efficient Data Structures for Incremental Exact and Approximate Maximum Flow

Gramoz Goranci, Monika Henzinger|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、辺の挿入に対して、有向かつ重みなしグラフにおける(1+ϵ)-近似最大s-tフローを維持する、初めてのサブ線形時間動的アルゴリズムを提示する。平均更新時間はm^{1/2+o(1)}ϵ^{-1/2}である。この手法は、増分的単一始点到達可能性と、上限付き最大フロー枠組みを組み合わせ、最近の近似線形時間静的最大フローアルゴリズムを活用することで、任意の良好な近似保証のもとでサブ線形性能を達成する。

ABSTRACT

We show an (1+ε)-approximation algorithm for maintaining maximum s-t flow under m edge insertions in m^{1/2+o(1)} ε^{-1/2} amortized update time for directed, unweighted graphs. This constitutes the first sublinear dynamic maximum flow algorithm in general sparse graphs with arbitrarily good approximation guarantee. Furthermore we give an algorithm that maintains an exact maximum s-t flow under m edge insertions in an n-node graph in Õ(n^{5/2}) total update time. For sufficiently dense graphs, this gives to the first exact incremental algorithm with sub-linear amortized update time for maintaining maximum flows.

研究の動機と目的

• 辺の挿入に対して、有向かつ重みなしグラフにおける近似最大s-tフローをサブ線形更新時間で維持する動的アルゴリズムを設計すること。
• δ>0に対してO(m^{1−δ})時間/操作で正確な最大フローの維持が不可能であることが知られている条件付き下界を克服すること。
• 動的最大フローアルゴリズムを無向グラフにとどまらず、一般のスパースグラフにおいてサブ線形性能を達成すること。
• 増分的上限付き最大フローと静的正確最大フローアルゴリズムを組み合わせた汎用フレームワークを提供し、効率的な近似動的フロー維持を実現すること。

提案手法

• 増分的上限付き最大フローアルゴリズム（IncBMF）と静的正確最大フローアルゴリズムを組み合わせた汎用フレームワークを提案し、(1+ϵ)-近似動的フロー維持を達成する。
• 各辺挿入後に残余グラフにおける増分パスを検出するために、増分的単一始点到達可能性（IncSSR）データ構造を使用する。
• 残余グラフを維持し、IncSSR構造を用いて各検出された増分パスに1単位のフローを段階的に送ることで、フローを増分的に更新する。
• 増分ステップ数をµに制限する上限付き最大フロー機構を採用し、上限付きコンポonentの合計更新時間をO(mµ)に保証する。
• 最近のm^{1+o(1)}-時間静的最大フローアルゴリズム[3]を組み込み、近似線形時間の静的計算時間を達成する。
• µ = m^{1/2+o(1)}ϵ^{-1/2}を選び、上限付きフロー時間と静的フロー計算時間のトレードオフを最適化することで、最終的にサブ線形更新時間を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺の挿入に対して、有向かつ重みなしグラフにおける(1+ϵ)-近似最大s-tフローをサブ線形平均更新時間で維持することは可能か？
• RQ2 一般のスパースグラフにおいて、任意の良好な近似要件のもとで、動的最大フローのサブ線形更新時間は達成可能か？
• RQ3 動的最大フローアルゴリズムを無向グラフにとどまらず、効率的な更新時間を持つ有向グラフへと拡張可能か？
• RQ4 上限付き最大フロー維持と静的正確最大フロー計算の最適なトレードオフは何か？サブ線形動的性能を達成するには？

主な発見

• この論文は、m回の辺挿入に対して、有向かつ重みなしグラフにおける(1+ϵ)-近似最大s-tフローを維持する平均更新時間m^{1/2+o(1)}ϵ^{-1/2}を達成した。
• 現在のフロー値を求めるクエリはO(1)時間で可能であり、効率的なオンラインフロー値報告が可能である。
• 一般のスパース有向グラフに対して、任意の良好な近似要件のもとでサブ線形更新時間を達成する最初の動的アルゴリズムである。
• フレームワークは汎用的であり、任意の増分的上限付き最大フローアルゴリズムと任意の静的正確最大フローアルゴリズムにインスタンス化可能である。
• 近似線形静的最大フローアルゴリズムの存在に依存するが、最近の発見によりこれも利用可能となった[3]。
• 今後の完全動的最大フローアルゴリズムの基礎を提供する。近似比が競争的である。