[論文レビュー] Efficient energy-preserving numerical approximations for the sine-Gordon equation with Neumann boundary conditions

Qi Hong, Yushun Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ノイマン境界条件を満たすサインゴルドン方程式に対して、完全離散型エネルギー保存スキームの2つの新規クラスを提案する。コサイン擬スペクトル空間離散化と、射影法または補助変数法を用いた予測補正型クランク・ニコルソン時間スキームを組み合わせることで、高次精度と正確なエネルギー保存を達成し、優れた安定性と効率性を示す数値ベンチマークによって検証された。

ABSTRACT

We present two novel classes of fully discrete energy-preserving algorithms for the sine-Gordon equation subject to Neumann boundary conditions. The cosine pseudo-spectral method is first used to develop structure-preserving spatial discretizations under two different meshes, which result two finite-dimensional Hamiltonian ODE systems. Then we combine the prediction-correction Crank-Nicolson scheme with the projection approach to arrive at fully discrete energy-preserving methods. Alternatively, we introduce a supplementary variable to transform the initial model into a relaxation system, which allows us to construct structure-preserving algorithms more easily. We then discretize the relaxation system directly by using the cosine pseudo-spectral method in space and the prediction-correction Crank-Nicolson scheme in time to derive a new class of energy-preserving schemes. The proposed methods can be solved effectively by the discrete Cosine transform. Some benchmark examples and numerical comparisons are presented to demonstrate the accuracy, efficiency and superiority of the proposed schemes.

研究の動機と目的

• ノイマン境界条件を満たすサインゴルドン方程式に対して、ハミルトニアンエネルギーを正確に保存する構造保存型数値解法を開発すること。
• 既存のエネルギー保存法が完全非線形または陰的である、あるいは修正されたエネルギー則のみを保存するという制限を克服すること。
• 人工的な修正を加えずに、元のエネルギー保存則を維持する、効率的で高次精度のスキームを構築すること。
• 基礎となるハミルトニアン系の幾何的構造を保存することで、長時間安定なシミュレーションを可能にすること。
• ソリトン衝突などの複雑なダイナミクスを示す2次元サインゴルドン問題へのエネルギー保存法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 中点格子および通常格子の2つの異なるグリッド上でコサイン擬スペクトル法による空間離散化を実施し、半離散ハミルトニアン常微分方程式系を導出する。
• 予測補正型クランク・ニコルソンスキームに加え、エネルギー射影技術を適用することで、完全離散型エネルギー保存スキームを構築する。
• 補助変数を導入して元の系を緩和系に再定式化し、より単純な構造保存型アルゴリズムの構築を可能にする。
• 空間方向にコサイン擬スペクトル法、時間方向にクランク・ニコルソンスキームを用いて緩和系を離散化し、新たなエネルギー保存スキームのクラスを導出する。
• 得られた線形系を効率的に解くために離散コサイン変換（DCT）を用い、計算コストを低減する。
• 各時間ステップでスカラー非線形方程式を1つだけ解くニュートン反復を実装し、主な計算量に比べて計算コストが無視できるほど小さい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元サインゴルドン方程式に対して、ノイマン境界条件を満たす場合に、修正されたバージョンではなく元のエネルギーを正確に保存するエネルギー保存スキームを構築可能か？
• RQ2 ハミルトニアン構造とエネルギー保存を維持したまま、高次空間精度を達成するにはどうすればよいか？
• RQ3 補助変数法は、サインゴルドン方程式に対するエネルギー保存スキームの構築を簡素化できるか？
• RQ4 提案スキームは、既存のエネルギー保存法やシンプレクティック法と比較して、精度、効率性、エネルギー保存性において優れているか？
• RQ5 異なる補助関数 $ g[u,v] $ が、長時間シミュレーションにおける数値的挙動およびエネルギー保存性に与える影響は何か？

主な発見

• 提案スキームは時間方向で2次収束、空間方向でスペクトル精度を達成し、高次時間的および空間的収束率を示した。
• エネルギー誤差は $ \mathcal{O}(\tau^2) $ のオーダーを維持しており、優れた長期的エネルギー保存性を示している。
• 補助変数 $ \beta(t) $ は0に非常に近い値をとり、大きさが $ \mathcal{O}(\tau^2) $ のオーダーであるため、緩和定式化の妥当性が裏付けられた。
• ラグランジュ乗数 $ \lambda(t) $ は0のまわりで小さな揺らぎを示し、射影法の整合性が裏付けられた。
• 4つのリングソリトンを含むソリトン衝突の数値結果は、既存のベンチマークと定性的に一致し、波動ダイナミクスの優れた保存性を示した。
• 計算コストは低く抑えられており、非線形計算は各時間ステップでスカラー1次元のニュートン反復のみを要するため、スケーラブルで実用的な手法である。