[論文レビュー] Efficient entropy stable Gauss collocation methods

Jesse Chan, David C. Del Rey Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、全自由度間のすべて対すべての結合を排除する、分離可能な和分部分積分（SBP）作用素を導入することで、四角形および六面体要素における高次不連続ガラーキンスキームのための効率的なエントロピー安定ガウスコロケーション法を提示する。この手法はガウス・ルジャンドル・ロバッソ点の代わりにガウス・クアドラチャア・ポイントを用いることで、曲がったメッシュ上でも高い精度を達成しつつ、フラックス差分化形式と面ベースの要素間結合を通じてエントロピー安定性を維持する。これにより、計算コストと通信オーバーヘッドが顕著に削減される。

ABSTRACT

The construction of high order entropy stable collocation schemes on quadrilateral and hexahedral elements has relied on the use of Gauss-Legendre-Lobatto collocation points and their equivalence with summation-by-parts (SBP) finite difference operators. In this work, we show how to efficiently generalize the construction of semi-discretely entropy stable schemes on tensor product elements to Gauss points and generalized SBP operators. Numerical experiments suggest that the use of Gauss points significantly improves accuracy on curved meshes.

研究の動機と目的

• ガウス点における既存のエントロピー安定コロケーションスキームが自由度間のすべて対すべての結合を抱えることによる高い計算コストと通信オーバーヘッドを是正すること。
• ガウス・クアドラチャア・ポイントを用いて、非構造的四角形および六面体メッシュ上の高次不連続ガラーキン法へエントロピー安定性を拡張すること。
• 完全なテンソル積結合を面ベースの結合に置き換えることで、計算複雑度を低減し、スケーラビリティと効率性を向上させること。
• ガウス点と一般化されたSBP作用素を活用することで、曲がったメッシュ上でも高次精度と安定性を維持すること。
• 従来、単体要素に用いられていた分離可能なSBPフレームワークを、ガウス節点を用いたテンソル積要素へ一般化すること。

提案手法

• 体積および表面ノードの両方に作用する分離可能なSBP作用素 $\bm{Q}_N$ を提案し、安定的かつ高精度な微分近似を可能にする。
• 変分形式を用いて微分近似を $\bm{u} = \bm{W}^{-1} \begin{bmatrix}\bm{I} & \bm{V}_f\end{bmatrix}^T \mathrm{diag}(\bm{f}_N) \bm{Q}_N \bm{g}_N$ として表現し、歪対称的な方法で境界補正を組み込む。
• 2点間のエントロピー保存フラックスをガウス・クアドラチャア・ポイントにおける解状態間で計算することでフラックス差分化アプローチを適用し、離散的エントロピー安定性を保証する。
• 隣接要素間の面値のみを通信する面ベースの要素間結合戦略を導入し、すべて対すべてのノード結合を回避する。
• テンソル積要素におけるガウス・クアドラチャア・ポイントを用いることで、$d$次元において2点フラックス評価回数を $O(N^{2d})$ から $O(N^{d+1})$ に削減する。
• SBP-SATフレームワーク内でこの手法を導出することで、連続的エントロピー不等式の離散的アナログを通じてエントロピー安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積要素におけるガウス点に、すべて対すべての結合を伴わずに、エントロピー安定な高次コロケーションスキームを効率的に構築可能か？
• RQ2 分離可能なSBP作用素を、四角形および六面体要素のガウス・ノードへ一般化することで、通信および計算コストを低減可能か？
• RQ3 曲がったメッシュ問題において、ガウス・クアドラチャア・ポイントとガウス・ルジャンドル・ロバッソ・ポイントを用いる場合の精度と安定性への影響は何か？
• RQ4 フラックス差分化アプローチをガウス・コロケーションスキームに適応させることで、エントロピー安定性を保持しつつ要素間結合を最小限に抑えることができるか？
• RQ5 高次エントロピー安定スキームにおいて、面ベース結合と全ノード結合の間で計算効率にどの程度の向上が得られるか？

主な発見

• 提案手法は、曲がったメッシュ上でも高次精度を達成し、数値実験によりGLLベースのスキームよりも顕著な改善が示された。
• ガウス点の使用により、特に未十分に解像された流れや乱流シミュレーションにおいて、GLL点よりも高い精度が得られた。
• 分離可能なSBP作用素により、要素間結合が面値へのみ限定され、標準的なSBP定式化で見られるすべて対すべての通信パターンが排除された。
• $d$次元において、1要素あたりの2点フラックス評価回数が $O(N^{2d})$ から $O(N^{d+1})$ に削減され、スケーラビリティが顕著に向上した。
• フラックス差分化形式とSBP性質を通じて、厳密なエントロピー安定性が維持され、離散的エントロピー不等式が満たされた。
• 数値結果により、2次元および3次元の圧縮性エーラー方程式の滑らかで、不連続で、乱流的な解に対して、安定性と高次収束性が確認された。