[論文レビュー] Efficient enumeration of solutions produced by closure operations

Arnaud Mary, Yann Strozecki|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ブールベクトル上の閉包作用素によって生成されるすべての要素を列挙する多項式遅延アルゴリズムを提示する。バックトラック探索と閉包への属するかどうかの決定手続きを用いる。主な貢献は、ブールドメイン上の任意の演算集合に対して、閉包属する問題が多項式時間で決定可能であることを証明することであり、これは、和、積、対称差、および他の集合演算に関して閉じた解の効率的列挙を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we address the problem of generating all elements obtained by the saturation of an initial set by some operations. More precisely, we prove that we can generate the closure by polymorphisms of a boolean relation with a polynomial delay. This implies for instance that we can compute with polynomial delay the closure of a family of sets by any set of "set operations" (e.g. by union, intersection, difference, symmetric difference$\dots$). To do so, we prove that for any set of operations $\mathcal{F}$, one can decide in polynomial time whether an elements belongs to the closure by $\mathcal{F}$ of a family of sets. When the relation is over a domain larger than two elements, our generic enumeration method fails for some cases, since the associated decision problem is $NP$-hard and we provide an alternative algorithm.

研究の動機と目的

• ブールベクトル上の閉包作用素によって生成されるすべての要素を列挙する多項式遅延アルゴリズムの開発。
• ブールドメイン上のさまざまな演算集合に対する閉包属する問題の複雑さの特定。
• 既知の閉包列挙手法（例えば、グラフやハイパーグラフにおけるサイクルの列挙）を汎用フレームワークに拡張すること。
• ドメインの要素数が2つを超える場合、属する問題がNP困難になるため、効率的列挙の限界を調査すること。

提案手法

• ポストの格子とクローン間の還元を用いて、閉包問題の複雑さを分類する。
• 多項式遅延で閉包要素を列挙するバックトラック探索アルゴリズムの設計。
• ブールドメインでは、任意の演算集合に対して閉包属する問題がPに属することを活用し、効率的な列挙を可能にする。
• 閉包要素間に演算の適用を表す有向グラフを構築し、深さ優先探索を実行して解を列挙する。
• 重複のない解の集合を維持し、多項式時間での属する問題チェックを可能にするために、自己平衡探索木を用いる。
• より大きなドメインにおける結合的関数に対しては、空間が解の数に比例して増加することを許容すれば、NP困難な属する問題であっても多項式遅延を達成する空間比例アルゴリズムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブールドメイン上の任意の演算集合に対して、その閉包が多項式遅延で列挙可能か？
• RQ2 ブールドメイン上のすべての演算集合に対して、ベクトル集合の閉包属する問題が多項式時間で決定可能か？
• RQ3 ドメインの要素数が2つを超える場合、閉包属する問題の複雑さはいかほどか？
• RQ4 十分なメモリ空間が確保できる場合、属する問題がNP困難であっても多項式遅延列挙が可能か？
• RQ5 逆探索法を変更することで、単調な閉包作用素に対して多項式空間かつ多項式遅延を達成できるか？

主な発見

• ブールドメイン上の任意の演算集合に対して、閉包属する問題は多項式時間で決定可能であり、これにより効率的な列挙が可能である。
• 提案されたアルゴリズムは、多項式遅延ですべての閉包要素を列挙し、ナイーブな飽和法と比べて顕著に改善されている。
• 本手法は、ハイパーグラフの和と積に関する閉包や、対称差を用いたサイクルの生成といった既知の結果を一般化する。
• より大きなドメインにおける結合的関数に対しては、空間が解の数に比例して増加する場合、多項式遅延列挙アルゴリズムが存在する。
• 解集合のサイズが指数的であっても、バックトラック探索法が十分に多項式遅延を達成できる。
• 最小閉包要素に制限して列挙することで、例えば2次元マトロイドの回路を生成するなど、最小要素の生成に本フレームワークを応用可能である。