[論文レビュー] Efficient estimation of eigenvalue counts in an interval

Edoardo Di Napoli, Eric Polizzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 25被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、スパースなヘルミート行列の与えられた区間内の固有値個数を推定するための効率的な確率的手法を提案する。多項式（チェビシェフに基づく）および有理関数（コーシー積分に基づく）フィルタリングをトレース推定と組み合わせ、正確なシルベスターの慣性則による数え上げの計算コストの低い代替手法を提供する。主な貢献は、正確なシルベスターの慣性則による数え上げの代替として計算コストが低く、FEASTのような大規模固有値求解法におけるスケーラブルな固有値数え上げを可能にする点である。

ABSTRACT

Estimating the number of eigenvalues located in a given interval of a large sparse Hermitian matrix is an important problem in certain applications and it is a prerequisite of eigensolvers based on a divide-and-conquer paradigm. Often an exact count is not necessary and methods based on stochastic estimates can be utilized to yield rough approximations. This paper examines a number of techniques tailored to this specific task. It reviews standard approaches and explores new ones based on polynomial and rational approximation filtering combined with a stochastic procedure.

研究の動機と目的

• 大規模スパースヘルミート行列の指定された区間内の固有値を高速かつ近似的に数えるための手法を開発すること。
• LDL^T分解やシルベスターの慣性則といった正確な手法と比較して計算コストを低減すること。
• 部分空間に基づく固有値求解法を支援し、最適な部分空間サイズ選択のための固有空間次元の信頼性の高い推定を提供すること。
• 輪郭積分を用いることで、非対称および複素固有値問題への固有値数え上げの適用範囲を拡張すること。
• 異なるフィルタリングおよび求解戦略における、精度、計算コスト、収束特性のトレードオフを評価すること。

提案手法

• 区間 [a, b] 内の固有値へのスペクトル射影子のトレースを、ランダムベクトルを用いた確率的トレース推定器により推定する。
• 標準および一般化固有値問題の両方において、チェビシェフ＝ジャクソン多項式による多項式フィルタリングを用いてスペクトル射影子を近似する。
• リソルベントの輪郭積分を用いた有理関数近似によりスペクトル射影子を構築し、複素数および非対称問題に対応可能にする。
• 有理関数フィルタリングに伴う線形方程式系の解法に、コストと精度のトレードオフに応じてLU分解またはKrylov部分空間法を適用する。
• 標準問題にはバリア型フィルタを、一般化問題にはハイパスおよびローパスフィルタを用い、特定のスペクトル区間をターゲットにする。
• 非エルミートの場合には複素ランダムベクトルと実部の平均化を用い、射影子のトレースが固有値個数に等しいという事実を活用してトレースを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な LDL^T分解による数え上げと比較して、区間内の固有値個数をどのようにより効率的に推定できるか？
• RQ2 チェビシェフに基づく多項式フィルタリングの固有値数え上げにおける精度と収束特性はいかがなものか？
• RQ3 有理関数近似による輪郭積分法は、多項式手法と比較して精度とコストの点でどのように異なるか？
• RQ4 非対称および複素固有値問題への固有値個数推定を拡張することは可能か？
• RQ5 有理関数フィルタリングにおいて、部分空間サイズ、積分点数、収束速度の最適なトレードオフは何か？

主な発見

• チェビシェフ＝ジャクソン多項式を用いた多項式フィルタリング手法は、固有値が区間境界から明確に分離されている場合に、許容できる精度で低コストの固有値個数推定を提供する。
• 輪郭積分による有理関数近似は線形収束率を達成し、数値実験では n_c=8 の場合に約 4×10⁴、n_c=5 の場合に約 2×10² の収束率が観測された。
• qc324 複素対称行列に対しては、6個の積分点（半円ごとにガウス-3）を用いた有理関数法により、輪郭内に約37個の固有値が存在するという妥当な推定が得られ、複素問題への適用可能性が示された。
• 複素ランダムベクトルの実部を用いた確率的トレース推定器は、非エルミートの場合に効果的にトレースを推定でき、虚部バイアスは無視できるほど小さい。
• 提案手法により、高価な正確な慣性数え上げの必要性が軽減され、FEASTのような固有値求解法の初期化を高速化し、必要な部分空間次元を推定可能となった。
• 射影子の近似誤差により、区間境界付近では推定バイアスが増大する傾向にあり、これは今後の研究が必要な主要な制限要因である。