[論文レビュー] Efficient Hamiltonian Simulation for Solving Option Price Dynamics

Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez‐Rozas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンシミュレーションを介してブラック・ショールズ偏微分方程式をシュレーディンガー方程式に写像することにより、デジタル量子アルゴリズムを提案する。非エルミートハミルトニアンをより大きなヒルベルト空間に埋め込むために1つのアーキテクチャクビットを用い、シミュレーションの安定化に周期的境界条件を適用することで、故障耐性のある量子コンピュータ上で9量子ビットで古典的手法と同等の精度を達成し、事後選別成功確率が60%を超える。

ABSTRACT

Pricing financial derivatives, in particular European-style options at different time-maturities and strikes, means a relevant problem in finance. The dynamics describing the price of vanilla options when constant volatilities and interest rates are assumed, is governed by the Black-Scholes model, a linear parabolic partial differential equation with terminal value given by the pay-off of the option contract and no additional boundary conditions. Here, we present a digital quantum algorithm to solve Black-Scholes equation on a quantum computer by mapping it to the Schrödinger equation. The non-Hermitian nature of the resulting Hamiltonian is solved by embedding its propagator into an enlarged Hilbert space by using only one additional ancillary qubit. Moreover, due to the choice of periodic boundary conditions, given by the definition of the discretized momentum operator, we duplicate the initial condition, which substantially improves the stability and performance of the protocol. The algorithm shows a feasible approach for using efficient Hamiltonian simulation techniques as Quantum Signal Processing to solve the price dynamics of financial derivatives on a digital quantum computer. Our approach differs from those based on Monte Carlo integration, exclusively focused on sampling the solution assuming the dynamics is known. We report expected accuracy levels comparable to classical numerical algorithms by using 9 qubits to simulate its dynamics on a fault-tolerant quantum computer, and an expected success probability of the post-selection procedure due to the embedding protocol above 60%.

研究の動機と目的

• デジタル量子計算を用いて、金融オプションプライシングにおけるブラック・ショールズPDEを解く量子アルゴリズムを開発すること。
• ブラック・ショールズ方程式に由来する非エルミートハミルトニアンの問題に対処するため、拡大されたヒルベルト空間へのユニタリ埋め込みを実現すること。
• 離散化された運動量演算子に周期的境界条件を適用することで、数値的安定性と性能を向上させること。
• 故障耐性のある量子コンピュータ上で、最小限の量子ビット数（9量子ビット）を用いて、古典的数値手法と同等の実行可能性と精度を示すこと。
• 時間的または価格依存のボラティリティを有するようなより複雑なPDEにこの手法を拡張する基盤を構築すること。

提案手法

• ブラック・ショールズPDEを、非エルミートハミルトニアン下でのユニタリダイナミクスとしての時間発展と再解釈することにより、シュレーディンガー方程式に写像する。
• 1つのアーキテクチャクビットを用いて非エルミートハミルトニアンをより大きなヒルベルト空間に埋め込み、ユニタリ時間発展を可能にする。
• 離散化された運動量演算子に周期的境界条件を適用することで、初期状態の複製が可能となり、シミュレーションの安定性が向上する。
• 時間発展のための効率的なハミルトニアンシミュレーションに、量子信号処理技術を適用する。
• 最終状態を所望の計算サブスペースに射影するために、事後選別を実装し、アーキテクチャクビットが|0⟩に測定されることを保証する。
• 正規化条件から導かれる係数Λを用いて最終状態を正規化し、オプション価格を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート性を有するブラック・ショールズPDEが、ハミルトニアンシミュレーション技術を用いてデジタル量子コンピュータで効率的にシミュレート可能かどうか。
• RQ2 ブラック・ショールズ方程式に由来する非エルミートハミルトニアンを、最小限の量子ビットオーバーヘッドでユニタリ時間発展フレームワークに埋め込む方法は何か。
• RQ3 周期的境界条件が、金融PDEの量子シミュレーションの安定性と精度に与える影響は何か。
• RQ4 この量子アルゴリズムが、わずか9量子ビットで、古典的数値ソルバーと同等の精度に到達できる範囲はどの程度か。
• RQ5 この手法を、確率的または空間的に依存するボラティリティを有するようなより複雑なPDEに一般化できるか。

主な発見

• 故障耐性のある量子コンピュータ上でブラック・ショールズ方程式をシミュレートする際、このアルゴリズムは古典的手法と同等の数値的精度を達成する。
• 1つのアーキテクチャクビットの使用により、非エルミートハミルトニアンがユニタリ時間発展に効果的に埋め込まれ、安定したシミュレーションが可能になる。
• アーキテクチャクビットが|0⟩状態に測定されるための事後選別成功確率が60%を超えており、プロトコルの高い効率性が示された。
• 周期的境界条件のおかげで初期状態が複製されるため、シミュレーションの安定性と性能が顕著に向上する。
• 時間的・価格依存のボラティリティモデルへの応用が可能であり、解析的解が存在しない場合でも意味のある数値的手法を提供する。
• 境界条件およびペイオフ関数を変更することで、アメリカンオプションやアジアンオプションなど、他の金融デリバティブのシミュレーションにこのフレームワークを適応可能にできる。