[論文レビュー] Efficient IMEX Runge-Kutta methods for nonhydrostatic dynamics

Andrew Steyer, Christopher J. Vogl+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、水平方向に陽的に、垂直方向に陰的に分割する（HEVI）手法を用いた非圧縮大気モデルの効率的な時間積分を目的として、新しい陰-陽的ルンゲ・クッタ（IMEX RK）法の族、IMKG2 および IMKG3 を導入する。これらの手法は、大きな安定性領域を有し、3次精度を達成しており、既存のIMEX法と比較してHOMME-NHモデルにおいて優れた効率性と安定性を示している。

ABSTRACT

We analyze the stability and accuracy (up to third order) of a new family of implicit-explicit Runge-Kutta (IMEX RK) methods. This analysis expedites development of methods with various balances in the number of explicit stages and implicit solves. We emphasize deriving methods with large stability regions for horizontally explicit vertically implicit (HEVI) partitionings of nonhydrostatic atmosphere models. The IMKG2 and IMKG3 families of IMEX RK methods are formulated within this framework. The HOMME-NH model with a HEVI partitioning is used for testing the accuracy and stability of various IMKG2-3 methods. The efficiency of several IMKG2-3 methods is demonstrated in HOMME-NH and compared to other IMEX RK methods in the literature.

研究の動機と目的

• 非圧縮大気モデルのための効率的な時間積分法を開発すること。これは、剛性のある垂直方向の運動に起因する複数の時間スケールを取り扱うことを目的とする。
• 半陽的時間積分における安定性と精度の課題に対処するため、大きな安定性領域を有するIMEXルンゲ・クッタスキームを設計すること。
• IMEX法における陽的・陰的段階のバランスを最適化し、計算コストを低減しながらも精度を維持すること。
• HEVI分割を用いた現実的な非圧縮大気モデル（HOMME-NH）において、新規IMEX法の性能を評価すること。
• 段階数や安定性特性をカスタマイズ可能な、IMEX RK法を系統的に導出するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 著者らは、任意の内部段階数を有する新しいIMEXルンゲ・クッタ法の族（IMKG2 および IMKG3）を定式化し、係数ベクトル α, β, α̂, β̂, および δ̂ でパrameter化する。
• これらの手法は、水平方向の移流を陽的に、垂直方向の運動を陰的に取り扱うHEVI分割を想定しており、計算コストを低減しながらも安定性を維持する。
• 安定性と精度は3次まで解析され、特にA安定性、剛性減衰（SD）、および強安定性保存（SSP）特性に注目する。
• 係数は、バーサー図の枠組みを用いて導出され、次数条件と望ましい安定性領域を満たすように設計されている。
• IMKG2 および IMKG3 の族には、異なる安定性と精度のトレードオフを持つ複数のバリエーション（例：232a, 242b, 354a）が含まれており、数値実験の結果に基づいて選定されている。
• HEVI分割を用いたHOMME-NH非圧縮大気モデルが、時間積分性能の評価のためのテストベッドとして用いられている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮大気モデルに対して、3次精度を達成するとともに大きな安定性領域を有するIMEXルンゲ・クッタ法を、系統的かつ体系的に設計することは可能か？
• RQ2 具体的にHEVI分割（陽-陰的分割）を採用することにより、非圧縮モデルにおける時間積分の安定性と効率性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 陽的段階数と陰的段階数を変化させることで、非圧縮力学におけるIMEX法の安定性と精度にどのような影響が生じるか？
• RQ4 HOMME-NHモデルに適用した場合、新規IMKG2 および IMKG3 法は、文献に登場する既存のIMEX RK法と比較して、効率性と安定性において優れているか？
• RQ5 非圧縮大気シミュレーションにおいて、安定性、精度、計算コストのバランスが最適なIMKG2-3のどのバリエーションが適しているか？

主な発見

• IMKG2 および IMKG3 のIMEXルンゲ・クッタ法の族は、A安定性および選択されたバリエーションにおける剛性減衰（SD）を含む、望ましい安定性特性を有し、3次精度を達成している。
• HOMME-NHモデルにおいて、IMKG2 の 254c バリエーションが、安定性と効率性のバランスが最も優れており、他のIMEX法と比較して、単位精度あたりの計算コストが低かった。
• HEVI分割を用いたIMKG2-3法は、標準的なIMEX法と比較して優れた安定性を示し、特にステップサイズ制限なしに高速な垂直重力波を解像できる。
• IMKG3 の 354a バリエーションは、広い安定性領域を有し、次数低下を示さず、長時間積分に適している。
• 243a および 253a バリエーションは優れたSSP特性を示し、急勾配や不連続性を有するシミュレーションにおいても強靭性を発揮した。
• 全体として、IMKG2-3法はHOMME-NHシミュレーションにおいて顕著な効率向上を示し、時間ステップあたりの計算コストを低減しながらも、高次精度と安定性を維持した。