[論文レビュー] Efficient Independence Testing for Quantum states

Nengkun Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、集合的測定と独立的測定の両方を用いて、量子状態の同一性および独立性を効率的にテストする手法を提示する。集合的測定による多粒子独立性のテストでは、$\tilde{O}(\frac{\Pi d_i}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが十分かつ必要であり、独立的測定では $O(\frac{\Pi d_i^2}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが必要である。これらの結果は、古典量子系における条件付き独立性テストへの応用を含む。

ABSTRACT

We provide simple and efficient testers of problems about quantum independence by collective measurements and independent measurements, respectively. We show that given mixed states $ ho,\sigma\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d})$, $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient to test whether $ ho=\sigma$ using independent measurements. Together with the identity tester in collective measurements setting \cite{BOW17}, we prove the following. Given multipartite mixed state $ ho\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}\otimes\cdots\otimes\mathbb{C}^{d_m})$, $ ilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho$ is independent, i.e., in the tensor product form, by collective measurements, and $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. Given $ ho_1, ho_2, \cdots, ho_n\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d})$ in the query model, and $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho_i$s are all identical by collective measurements, $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. Given $ ho_1, ho_2, \cdots, ho_n\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}\otimes\cdots\otimes\mathbb{C}^{d_m})$, $ ilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho_i$s are independent by collective measurements, and $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. The identity testing and independence testing in $\mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2})$ can be accomplished with $O(\frac{d_1^2d_2^2}{\epsilon^2})$ copies using just local measurements, respectively. This technique is used to provide efficient testers of conditional independence for classical-quantum-quantum states.

研究の動機と目的

• 量子状態の独立性および同一性を、最小限のコピー数で効率的にテストする手法の開発。
• 量子状態テストにおける集合的測定と独立的測定の性能を比較すること。
• 多粒子および二粒子系における独立性および同一性テストに必要なコピー数のタイトな上界および下界を確立すること。
• 古典量子量子状態における条件付き独立性テストへのフレームワークの拡張。
• 異なる測定モデルおよび状態タイプにわたるコピー複雑度の統一的分析を提供すること。

提案手法

• 多粒子混合状態がテンソル積（独立）形にあるかどうかをテストするために集合的測定を用い、$\tilde{O}(\frac{\Pi d_i}{\epsilon^2})$ のコピー複雑度を達成する。
• 二つの混合状態 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 間の同一性をテストするために独立的測定を用い、$O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ のコピーが必要である。
• BOW17 の同一性テスト手法を集合的測定設定に応用し、独立性テストのコピー複雑度境界を導出する。
• $n$ 冊の状態がすべて同一であるかどうかをテストするクエリモデルを分析し、集合的測定では $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ 冊、独立的測定では $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが必要であることを示す。
• 局所測定を用いて、古典量子量子状態における条件付き独立性テストにフレームワークを拡張する。
• 集合的測定および独立的測定の両設定において、複数の粒子系における $n$ 個の状態の独立性テストのコピー複雑度境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合的測定を用いて、多粒子量子状態 $\rho \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{d_m})$ が独立（テンソル積形）であるかどうかをテストする際の最適なコピー複雑度は何か？
• RQ2 独立的測定を用いた独立性テストのコピー複雑度は、系の次元にどのように依存するか？
• RQ3 独立的測定を用いて二つの混合状態 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 間の同一性をテストするために必要な最小コピー数は何か？
• RQ4 局所測定のみで、二粒子系において効率的な独立性テストが達成可能か？
• RQ5 このフレームワークを、古典量子量子状態における条件付き独立性テストにどのように拡張できるか？

主な発見

• 多粒子状態 $\rho \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{d_m})$ の独立性テストにおいて、集合的測定を用いる場合、$\tilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが十分かつ必要である。
• 独立的測定を用いる場合、多粒子独立性テストには $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが十分である。
• 二つの混合状態 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 間の同一性テストにおいて、独立的測定を用いる場合、$O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが十分である。
• クエリモデルにおいて、$n$ 個の状態 $\rho_1, \dots, \rho_n$ がすべて同一であるかどうかをテストするには、集合的測定では $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ 冊のコピー、独立的測定では $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが必要である。
• 二粒子系 $\mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \mathbb{C}^{d_2})$ において、局所測定のみを用いて独立性テストを実行するには $O(\frac{d_1^2 d_2^2}{\epsilon^2})$ 冊のコピーが必要である。
• このフレームワークにより、局所測定技術を用いて古典量子量子状態の条件付き独立性を効率的にテストできる。