[論文レビュー] Efficient integration of gradient flow in lattice gauge theory and properties of low-storage commutator-free Lie group methods

Alexei Bazavov, Thomas Chuna|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、格子規.gs理論における勾配フロー統合のための最適化された低記憶型非交換型Lie群積分法を提案する。これは、古典的2N記憶型Runge-Kutta法と幾何的積分法との間の関係を活用したものである。調整された3次精度および新たに構築された4次精度の手法が、最小限のコード変更で著しく計算効率を向上させ、スケール設定において1%未満の精度を達成している。

ABSTRACT

The smoothing procedure known as the gradient flow that suppresses ultraviolet fluctuations of gauge fields plays an important role in lattice gauge theory calculations. In particular, this procedure is often used for high-precision scale setting and renormalization of operators. The gradient flow equation is defined on the SU(3) manifold and therefore requires geometric, or structure-preserving, integration methods to obtain its numerical solutions. We examine the properties and origins of the three-stage third-order explicit Runge-Kutta Lie group integrator commonly used in the lattice gauge theory community, demonstrate its relation to 2N-storage classical Runge-Kutta methods and explore how its coefficients can be tuned for optimal performance in integrating the gradient flow. We also compare the performance of the tuned method with two third-order variable step size methods. Next, based on the recently established connection between low-storage Lie group integrators and classical 2N-storage Runge-Kutta methods, we study two fourth-order low-storage methods that provide a computationally efficient alternative to the commonly used third-order method while retaining the convenient iterative property of the latter. Finally, we demonstrate that almost no coding effort is needed to implement the low-storage Lie group methods into existing gradient flow codes.

研究の動機と目的

• SU(3)多様体上の勾配フロー統合の計算効率を向上させること。
• 低記憶型古典的Runge-Kutta法と非交換型Lie群積分法との間の関係を調査すること。
• 第3次精度の広く使われている手法に代わる、より効率的な第4次精度の低記憶型Lie群積分法を構築・ベンチマークすること。
• これらの手法を既存の勾配フローコードに統合する際に、最小限のコーディング作業で済むことを実証すること。

提案手法

• 古典的2N記憶型陽的Runge-Kutta法と非交換型Lie群積分法との既知の関係を活用し、SU(3)上での幾何的統合のための係数を導出する。
• 標準的な3段3次精度Lie群積分法（LSCFRK3W6）の係数を、勾配フロー統合における最適性能を達成するように調整する。
• 同じ2N記憶型フレームワークに基づき、2つの新しい4次精度低記憶型Lie群積分法を構築し、反復構造と計算効率を維持する。
• Mathematicaスクリプトを用いて、c2とc3パラメータから係数を計算し、解空間の体系的探索を可能にする。
• 3つの格子アンサンブル上で、調整済み3次精度および4次精度手法と可変ステップサイズ3次精度手法を比較する。
• ウィルソンおよびシマンジックゲージ作用素を用いた勾配フロー方程式の数値統合を通じて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的に使われている3段3次精度Lie群積分法の係数を、勾配フロー統合におけるより優れた性能を達成するように最適化する方法は何か？
• RQ2 LSCFRK3W6手法は、古典的2N記憶型Runge-Kutta法の文脈で、どのようにして生じ、どのような構造を持つのか？
• RQ3 第3次精度手法と同等の効率と反復的性質を保ちつつ、4次精度の低記憶型Lie群積分法を構築できるか？
• RQ4 調整済み3次精度および新規4次精度手法の性能と精度は、既存の可変ステップサイズ3次精度手法と比べてどの程度異なるか？
• RQ5 低記憶型Lie群積分法を既存の勾配フローコードに統合する際、実装作業をどれほど最小限に抑えられるか？

主な発見

• 標準的な3段3次精度Lie群積分法（LSCFRK3W6）は、古典的2N記憶型Runge-Kuttaスキームから導かれた低記憶型非交換型Lie群積分法であることが示された。
• LSCFRK3W6の係数が勾配フロー統合に最適化され、格子アンサンブル上での効率性と精度が向上した。
• 2つの新しい4次精度低記憶型Lie群積分法が成功裏に構築され、第3次精度手法と同等の記憶容量と反復構造を維持しながら、より高い精度を達成した。
• 数値結果から、調整済み3次精度手法が、標準的な可変ステップサイズ3次精度手法よりも、計算効率と精度の両面で優れていることが示された。
• 既存の勾配フローコードへの低記憶型Lie群積分法の実装には、ほとんど追加のコーディング作業が不要であり、スムーズな統合が可能であることが確認された。
• 古典的2N記憶型Runge-Kutta法とLie群積分法との間の関係が検証され、格子規.gs理論における新しい効率的積分法の生成に活用された。