[論文レビュー] Efficient learning of ground & thermal states within phases of matter

Emilio Onorati, Cambyse Rouzé+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2023

Quantum many-body systems被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Gibbs/基底状態を学習し、相の中の局所 observables を予測するためのサンプル効率の高いアルゴリズムを開発し、Wasserstein (W1) 連続性、リプシッツ observable、相焦点のトモグラフィーによって、精度と系サイズの指数的改善を達成する。

ABSTRACT

We consider two related tasks: (a) estimating a parameterisation of a given Gibbs state and expectation values of Lipschitz observables on this state; and (b) learning the expectation values of local observables within a thermal or quantum phase of matter. In both cases, we wish to minimise the number of samples we use to learn these properties to a given precision. For the first task, we develop new techniques to learn parameterisations of classes of systems, including quantum Gibbs states of non-commuting Hamiltonians with exponential decay of correlations and the approximate Markov property. We show it is possible to infer the expectation values of all extensive properties of the state from a number of copies that not only scales polylogarithmically with the system size, but polynomially in the observable's locality -- an exponential improvement. This set of properties includes expected values of quasi-local observables and entropies. For the second task, we develop efficient algorithms for learning observables in a phase of matter of a quantum system. By exploiting the locality of the Hamiltonian, we show that $M$ local observables can be learned with probability $1-δ$ to precision $ε$ with using only $N=O\big(\log\big(\frac{M}δ\big)e^{polylog(ε^{-1})}\big)$ samples -- an exponential improvement on the precision over previous bounds. Our results apply to both families of ground states of Hamiltonians displaying local topological quantum order, and thermal phases of matter with exponential decay of correlations. In addition, our sample complexity applies to the worse case setting whereas previous results only applied on average. Furthermore, we develop tools of independent interest, such as robust shadow tomography algorithms, Gibbs approximations to ground states, and generalisations of transportation cost inequalities for Gibbs states.

研究の動機と目的

• 未知のGibbs状態とそれらの期待値をリプシッツ observable のために効率的に学習可能とする動機付けと実現。
• 熱相での相学習・状態学習手法を、相関の指数的減衰と一般化局所不可識別性（GALI）を用いて拡張。
• 有限コピーから得られる全ての広義的性質と準局所 observable の学習サンプル複雑さを、物質相の範囲で削減。

提案手法

• 減衰する Gibbs 状態のトモグラフィーアルゴリズムを開発し、Wasserstein距離が nε になるまでパラメータを推定、対数/多対数のサンプル複雑度を満たす。
• リプシッツobservableと量子 Wasserstein距離 W1 を用いて、状態復元を広義的性質推定へ結び付ける。
• W1距離が広義的・非線形関数（例：エントロピー）の期待値を地域的削減と集中論証を通じて制御する境界を証明。
• GALI（generalized approximate local indistinguishability）を導入し、ギャップ付き基底状態や指数減衰を超える特定の熱相にも学習保証を拡張し、最悪ケース型の保証を可能にする。
• ランダムパラメータでの状態サンプルから、全パラメータ空間にわたる局所 observable を誤差有界で予測する、パラメータ付きハミルトニアンの族に対する学習アルゴリズムを提供。
• 信念伝播、古典的シャドウトモグラフィー、パラメータ空間の反集中を活用して、扱いやすい推定量を構築。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の Gibbs 状態のパラメータを学習し、系サイズ polylog 個のサンプル数で全ての広義的性質を予測できるか？
• RQ2 Gibbs 状態トモグラフィーを非可換ハミルトニアン、高温、均一クラスタリング/マルコフ条件で拡張し、実現可能なサンプル複雑度を得られるか？
• RQ3 局所 observable の期待値を、熱的相または基底状態の相にわたって、点ごとに保証を持って学習できるか（期待値ではなく点ごとに）？
• RQ4 効率的な学習を保証する最小限の仮定（例：相関の指数減衰、GALI）は何か？
• RQ5 ギャップ付き基底状態から热相へ、そしてそれ以上へ相学習を拡張し、サンプル複雑度のロバストな境界を得るにはどうするか？

主な発見

• Gibbs 状態のトモグラフィーは、可換ケースでは N = O(log(1/δ) polylog(n) ε^-2) のサンプルで可能であり、高温または均一クラスタリング/マルコフ条件の下で非可換ケースへ拡張可能。
• 相関の指数減衰の下では、O(polylog(n)) コピーから全ての広義的性質を推定でき、従来の境界に対して指数的な改善を達成。
• 相の局所 observable は、相からサンプルを引くことで、N = O(log(M/δ) log(n/δ) e^{polylog(ε^-1)}) で学習可能で、M 個の局所項に対して一様な誤差を保証。
• GALI フレームワークは、ギャップ付き基底状態と特定の熱状態へ効率的学習を拡張し、N = O(log(M/δ) log(n/δ) e^{polylog(ε^-1)}) のサンプルと一様誤差境界を保証。
• 点ごとの回復保証（平均だけでなく実際の値に対して）を提供し、学習性能と Gibbs 状態の Wasserstein 連続性境界を結び付ける。
• この方法論は、頑健なシャドウトモグラフィー、Gibbs近似、非可算ハミルトニアンの輸送不等式一般化を組み合わせている。