[論文レビュー] Efficient list decoding of punctured Reed-Muller codes.

Venkatesan Guruswami, Lingfei Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2015

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{F}_q$ 上のReed-Muller符号に対して、長さ効率的で、近似的に最適な距離と効率的なリスト復号可能性を保つ明示的な長さ制限を提示する。変数を極の順序を制御できる代数的関数体からの関数に置き換えることで、相対距離が少なくとも $1-\epsilon$、リスト復号が $1-\sqrt{\epsilon}$ の誤り率まで可能であり、$q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ のとき、$\Omega_d(\epsilon)$ のレートを達成する。これは、ランダムな長さ制限の性能にほぼ一致するが、体のサイズの効率性が向上している。

ABSTRACT

The Reed-Muller (RM) code encoding $n$-variate degree-$d$ polynomials over $\mathbb{F}_q$ for $d < q$ has relative distance $1-d/q$ and can be list decoded from a $1-O(\sqrt{d/q})$ fraction of errors. In this work, for $d \ll q$, we give a length-efficient puncturing of such codes which (almost) retains the distance and list decodability properties of the Reed-Muller code, but has much better rate. Specificially, when $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$, we given an explicit rate $\Omega_d(\epsilon)$ puncturing of Reed-Muller codes which have relative distance at least $(1-\epsilon)$ and efficient list decoding up to $(1-\sqrt{\epsilon})$ error fraction. This almost matches the performance of random puncturings which work with the weaker field size requirement $q \gtrsim d/\epsilon^2$. We can also improve the field size requirement to the optimal (up to constant factors) $q \gtrsim d/\epsilon$, at the expense of a worse list decoding radius of $1-\epsilon^{1/3}$ and rate $\Omega_d(\epsilon^2)$. The first of the above trade-offs is obtained by substituting for the variables functions with carefully chosen pole orders from an algebraic function field; this leads to a puncturing for which the RM code is a subcode of a certain algebraic-geometric code (which is known to be efficiently list decodable). The second trade-off is obtained by concatenating this construction with a Reed-Solomon based multiplication friendly pair, and using the list recovery property of algebraic-geometric codes.

研究の動機と目的

• Reed-Muller符号の長さ効率的長さ制限を設計し、強力なリスト復号可能性と距離特性を維持すること。
• 定数相対距離 $1-\epsilon$ と $1-\sqrt{\epsilon}$ の誤り率までリスト復号可能な状態を達成するための体サイズ $q$ を最小限に抑えること。
• 体サイズ、レート、リスト復号半径のトレードオフを、ランダム長さ制限にほぼ一致するが明示的な構成で達成すること。
• 代数的幾何と乗法に適したペアを活用し、効率的なリスト復号と高レートを持つ符号を構築すること。

提案手法

• Reed-Muller符号の変数を、極の順序を丁寧に制御できる代数的関数体からの有理関数に置き換えることで、長さ制限符号が代数的幾何符号の部分符号のまま保たれるようにする。
• 代数的幾何符号の既知の効率的リスト復号可能性を活用し、長さ制限されたReed-Muller符号に対してもリスト復号性を継承する。
• 条件 $d \ll q$ の下で、$q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ のとき、$\Omega_d(\epsilon)$ のレートと少なくとも $1-\epsilon$ の相対距離を達成する。
• 体サイズの効率性を向上させるために、構成をReed-Solomonに基づく乗法に適したペアと連結し、$q \gtrsim d/\epsilon$ にまで体サイズを低減するが、リスト復号半径は $1-\epsilon^{1/3}$ に低下する。
• 代数的幾何符号のリスト回復性を活用し、2番目の構成において効率的なリスト復号を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数相対距離 $1-\epsilon$ と $1-\sqrt{\epsilon}$ の誤り率までリスト復号可能な、体サイズを著しく低減した明示的長さ制限を構築できるか？
• RQ2 代数的関数体をどのように活用すれば、Reed-Muller符号の構造を保ちつつ、レートと誤り耐性を向上できるか？
• RQ3 明示的長さ制限Reed-Muller符号において、体サイズ、レート、リスト復号半径の間にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ4 明示的構成は、距離とリスト復号性において、ランダム長さ制限の性能にどの程度まで近づけるか？

主な発見

• 条件 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ の下で、相対距離が少なくとも $1-\epsilon$、$1-\sqrt{\epsilon}$ の誤り率まで効率的なリスト復号が可能な長さ制限Reed-Muller符号が得られ、レートは $\Omega_d(\epsilon)$ である。
• この構成により、$d \ll q$ のとき、$\epsilon$ に対して多項式的なレートが達成され、従来の明示的長さ制限よりも著しく向上している。
• 体サイズ要件 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ はほぼ最適であり、ランダム長さ制限が要請する $q \gtrsim d/\epsilon^2$ に近く、非常に近い。
• 乗法に適したペアと連結することで、体サイズは $q \gtrsim d/\epsilon$ にまで低減され、定数倍の要因を除けば最適な体サイズに達しているが、リスト復号半径は $1-\epsilon^{1/3}$ に弱体化する。
• 得られた符号は代数的幾何符号の部分符号であるため、既知のアルゴリズムにより効率的なリスト復号が可能である。