[論文レビュー] Efficient MPS methods for extracting spectral information on rings and cylinders

Maarten Van Damme, Robijn Vanhove+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2021

Quantum many-body systems参考文献 47被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、開口境界を持つMPSの接空間を励起状態の変分アンザッツとして用いることで、リングおよびシリンダー上のスペクトル情報の抽出に効率的な行列積状態（MPS）手法を提案する。MPS表現における並進対称性の明示的破れにもかかわらず、この手法は運動量を良い量子数として回復でき、1次元量子スピンチェーンおよび2次元無限大シリンダーにおける励起スペクトル（臨界有限サイズCFTスペクトルおよびホール分散を含む）の高精度な計算を可能にする。イジング模型およびハーバード模型への応用が行われる。

ABSTRACT

Based on the MPS formalism, we introduce an ansatz for capturing excited states in finite systems with open boundary conditions, providing a very efficient method for computing, e.g., the spectral gap of quantum spin chains. This method can be straightforwardly implemented on top of an existing DMRG or MPS ground-state code. Although this approach is built on open-boundary MPS, we also apply it to systems with periodic boundary conditions. Despite the explicit breaking of translation symmetry by the MPS representation, we show that momentum emerges as a good quantum number, and can be exploited for labeling excitations on top of MPS ground states. We apply our method to the critical Ising chain on a ring and the classical Potts model on a cylinder. Finally, we apply the same idea to compute excitation spectra for 2-D quantum systems on infinite cylinders. Again, despite the explicit breaking of translation symmetry in the periodic direction, we recover momentum as a good quantum number for labeling excitations. We apply this method to the 2-D transverse-field Ising model and the half-filled Hubbard model; for the latter, we obtain accurate results for, e.g., the hole dispersion for cylinder circumferences up to eight sites.

研究の動機と目的

• 開口境界を有する有限1次元系におけるスペクトルギャップおよび励起スペクトルを、MPSを用いて計算的に効率的に計算する手法の開発。
• MPS構造によって並進対称性が明示的に破れる周期的境界条件（リングおよびシリンダー）を有する系へのこの手法の拡張。
• MPS表現において並進対称性が破れても、運動量が励起状態のラベル付けに良い量子数として残ることの確認。
• 臨界モデル（例：イジングおよびポッツスピンチェーン）および2次元量子系（例：横磁場イジング模型および半分満たしハーバード模型）の無限大シリンダー上への応用。
• ドーピングハーバード模型における準粒子分散（例：ホール分散）の高精度な計算を、基底状態シミュレーションと同等の計算コストで実現すること。

提案手法

• 開口境界MPSの接空間を励起状態の変分アンザッツとして用い、スペクトルギャップの効率的計算を可能にする。
• 同じアンザッツを周期的系（リングおよびシリンダー）に適用し、MPSを周期的境界条件を有する有限系として扱う。
• MPS波動関数に対してフーリエ変換を用いた運動量射影を実施し、並進対称性の破れにもかかわらず、励起状態に良い量子数として運動量をラベルづけする。
• 既存のDMRGおよびMPS基底状態コードと互換性のあるフレームワークに実装し、容易な統合を可能にする。
• MPS基底状態の収束基準として特異値のしきい値を用い、iDMRGにおける切断しきい値と類似の方法を採用する。
• 周期的方向を運動量空間のラベルとして扱うことで、明示的な対称性の破れを伴うMPSテンソルネットワークにおいても、無限大シリンダー上の2次元系にこの励起アンザッツを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開口境界MPSの接空間は、開口境界を有する有限系における励起状態の効率的変分アンザッツとして利用可能か？
• RQ2 MPSが並進対称性を明示的に破る場合、周期的系（リングおよびシリンダー）において運動量がどの程度良い量子数として回復可能か？
• RQ3 この手法は、リング上における臨界モデル（イジングおよびポッツスピンチェーン）の有限サイズスペクトルを高精度に再現できるか？
• RQ4 この手法は2次元量子系（無限大シリンダー上）に拡張可能であり、ハーバード模型のような強相関系の正確な励起スペクトルを提供するか？
• RQ5 ドーピングハーバード系における複合準粒子（例：磁気ポラロン）を捉える性能はいかがなものか？

主な発見

• 本手法はスピン1ヘイゼンベルグチェーンのスペクトルギャップを高い精度で計算し、従来のDMRGベースの励起状態探索手法と一致する結果を得た。
• リング上における臨界イジングチェーンに対して、本手法は conformal field theory (CFT) の有限サイズスペクトルを高い精度で回復し、運動量ラベル付けの有効性を確認した。
• 8サイトのシリンダー上における半分満たしハーバード模型のホール分散は、高精度に計算され、S点（π/2, π/2）で最小値を示す結果が得られ、以前の数値的報告と整合的であった。
• 電荷ギャップは結合次元の増大に伴いゆっくり収束し、ホール励起の複合的性質を示しており、8サイトシリンダーにおいてもD ≈ 7000でも完全に収束していないことが判明した。
• MPS構造における並進対称性の明示的破れにもかかわらず、シリンダー上での励起状態のラベル付けに運動量が信頼できる量子数として回復されている。
• 励起アンザッツにより、基底状態シミュレーションと同等の計算コストで、困難な2次元モデルの励起スペクトルが計算可能となり、トポロジカルおよび分数量子化励起状態の研究が現実可能になった。