[論文レビュー] Efficient optimization-based quadrature for variational discretization of nonlocal problems

Marco Pasetto, Zhaoxiang Shen+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2022

Numerical methods in engineering参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非局所問題の有限要素離散化のための最適化に基づく数値積分手法を提案する。この手法は、一般化された移動最小二乗法を用いて全球領域 H(x, δ) 上で数値積分重みを計算することで、計算コストの高い要素-球面交差計算を回避する。本手法は、一様グリッド上では少なくとも1次L2収束および最適な2次収束を達成し、非一様グリッド上でも安定した性能を示し、h ∼ δ → 0 の極限で漸近的適合性を満たす。

ABSTRACT

Casting nonlocal problems in variational form and discretizing them with the finite element (FE) method facilitates the use of nonlocal vector calculus to prove well-posedeness, convergence, and stability of such schemes. Employing an FE method also facilitates meshing of complicated domain geometries and coupling with FE methods for local problems. However, nonlocal weak problems involve the computation of a double-integral, which is computationally expensive and presents several challenges. In particular, the inner integral of the variational form associated with the stiffness matrix is defined over the intersections of FE mesh elements with a ball of radius $\delta$, where $\delta$ is the range of nonlocal interaction. Identifying and parameterizing these intersections is a nontrivial computational geometry problem. In this work, we propose a quadrature technique where the inner integration is performed using quadrature points distributed over the full ball, without regard for how it intersects elements, and weights are computed based on the generalized moving least squares method. Thus, as opposed to all previously employed methods, our technique does not require element-by-element integration and fully circumvents the computation of element-ball intersections. This paper considers one- and two-dimensional implementations of piecewise linear continuous FE approximations, focusing on the case where the element size h and the nonlocal radius $\delta$ are proportional, as is typical of practical computations. When boundary conditions are treated carefully and the outer integral of the variational form is computed accurately, the proposed method is asymptotically compatible in the limit of $h \sim \delta o 0$, featuring at least first-order convergence in L^2 for all dimensions, using both uniform and nonuniform grids.

研究の動機と目的

• 非局所有限要素法における要素-球面交差検出の計算ボトルネックを解消すること。
• 要素単位の積分を回避しつつ、非局所剛性行列の効率的かつ正確なアセンブリを可能にする数値積分スキームの開発。
• 一様および非一様グリッドの両方で漸近的適合性と最適な収束率を保証すること。
• 要素-球面オーバーラップの幾何的再構築を避けることで、実装の複雑さを最小限に抑えること。
• 数値実験および収束解析を通じて、手法の安定性を検証すること。

提案手法

• 内積計算において要素境界を無視し、全ホライズン球 H(x, δ) 上に分布する数値積分点を用いる。
• 一貫性と精度を確保するため、一般化された移動最小二乗法（GMLS）を用いて数値積分重みを計算する。
• GMLSフレームワークは、所望の次数まで多項式の一貫性を再現する重みを決定する最小二乗最適化問題を解く。
• 幾何的に複雑で時間がかかる要素-球面交差の明示的計算を回避する。
• 標準的な有限要素フレームワーク内に実装されており、コード変更が最小限に抑えられる。
• 境界条件は、漸近的適合性と収束性を保持するように慎重に取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所有限要素法において、要素-球面交差計算を回避しつつ、精度と収束性を維持できる数値積分手法を設計できるか？
• RQ2 本手法を用いた場合、一様および非一様グリッド上でのL2およびH1ノルムにおける収束率はどの程度達成できるか？
• RQ3 h ∼ δ → 0 の極限で、本手法は漸近的適合性を満たすか？
• RQ4 本手法はパッチテストに合格し、一様グリッド上での最適な収束を達成できるか？
• RQ5 非一様グリッド上での前漸近的領域において、本手法はどのように性能を示すか？

主な発見

• 本手法は、すべての次元および一様・非一様グリッドにおいて、L2ノルムで少なくとも1次収束を達成する。
• 一様グリッド上では、L2ノルムで最適な2次収束を示し、パッチテストに合格する。
• 非一様グリッド上では、広範な前漸近的領域で効果的な2次収束が観察され、パッチテストからのわずかなずれにおいてのみ漸近的1次収束が顕在化する。
• H1ノルムにおける収束率は、L2ノルムの収束率より常に1次低い。
• すべての数値積分点に対して数値積分重みが正であるため、安定性と頑健性が保証される。
• h ∼ δ → 0 の極限で、本手法は漸近的適合性を満たし、実装のオーバーヘッドが最小限に抑えられる。