[論文レビュー] Efficient polynomial-time approximation scheme for the genus of dense graphs

Yifan Jing, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、密度が十分に高いグラフ（ある固定された α > 0 に対して |V|² の係数 α 以上）のグラフの genus を近似するための効率的多項式時間近似スキーム（EPTAS）および効率的多項式時間確率的近似スキーム（EPRAS）を提示する。アルゴリズムは準ランダムグラフ分解、線形計画法による辺に交わらない三角形および四角形のパッキング、およびハイパーグラフ上の確率的グリーディマッチングを用い、(1+ε)-近似の最小 genus を O(f(ε)n²) 時間で達成する。EPRAS の変種では埋め込みの構築も可能である。

ABSTRACT

The main results of this paper provide an Efficient Polynomial-Time Approximation Scheme (EPTAS) for approximating the genus (and non-orientable genus) of dense graphs. By dense we mean that $|E(G)|\ge α|V(G)|^2$ for some fixed $α>0$. While a constant factor approximation is trivial for this class of graphs, approximations with factor arbitrarily close to 1 need a sophisticated algorithm and complicated mathematical justification. More precisely, we provide an algorithm that for a given (dense) graph $G$ of order $n$ and given $\varepsilon>0$, returns an integer $g$ such that $G$ has an embedding into a surface of genus $g$, and this is $\varepsilon$-close to a minimum genus embedding in the sense that the minimum genus $\mathsf{g}(G)$ of $G$ satisfies: $\mathsf{g}(G)\le g\le (1+\varepsilon)\mathsf{g}(G)$. The running time of the algorithm is $O(f(\varepsilon)\,n^2)$, where $f(\cdot)$ is an explicit function. Next, we extend this algorithm to also output an embedding (rotation system) whose genus is $g$. This second algorithm is an Efficient Polynomial-time Randomized Approximation Scheme (EPRAS) and runs in time $O(f_1(\varepsilon)\,n^2)$.

研究の動機と目的

• 固定された α > 0 に対して |E(G)| ≥ α|V(G)|² を満たす密度の高いグラフの genus について、ε に有効な多項式時間近似スキームを構築すること。
• 最小 genus に対して (1+ε) の近似因子を達成し、自明な定数因子近似を改善すること。
• genus を近似するだけでなく、その近似値を実現する genus 最小の回転系（埋め込み）を出力するアルゴリズムを構築すること。
• 位相的グラフ理論の応用を念頭に置いた、準ランダムグラフ理論および正則性補題に基づく数学的に厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• アルゴリズム的 Szemerédi 正則性補題を適用し、入力グラフを有界個数の部分に分割し、準ランダムな辺分布を持つようにする。
• 辺密度を制御する三部グラフおよび二部グラフ（T_ijk および B_ij）にグラフを分解し、高確率で準ランダム性を保証する。
• これらの部分グラフの辺集合をランダム分割により t₁ および t₂ 個の部分に分割し、複数の準ランダム有向グラフおよび関連する 3-および 4-一様ハイパーグラフを生成する。
• 3-一様および 4-一様ハイパーグラフ上で確率的グリーディアルゴリズムを用い、辺に交わらない三角形および四角形に対応する τ-近似完全マッチングを求める。
• マッチドされたサイクルから回転系 Π を構築し、弧に交わらない性質を保証し、ブlossom の解消のための pruning ステップを実行して有効な埋め込みを得る。
• 線形計画法を用いて ν(G) を計算し、最大の辺に交わらない三角形の数の ε-近似を得る。そのサイズは f₂(ε) で有界であり、これにより補題 1.7 を用いた genus の近似が可能になる。

Figure 1. A $3$ -blossom and a $4$ -blossom of length $6$ . The cycle $C_{1}$ is shown by bold edges.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度の高いグラフの genus に対して、ε に有効な多項式時間で (1+ε)-近似を計算できるか？
• RQ2 準ランダムグラフ分解を用いて、有界 genus の曲面上に近似的最適な埋め込みを構築する方法は何か？
• RQ3 辺に交わらない三角形および四角形のパッキングが、密度の高いグラフの genus 近似に果たす役割は何か？
• RQ4 確率的アルゴリズムが、近似的な genus と有効な回転系（埋め込み）を近二次時間で同時に出力できるか？
• RQ5 準ランダム性、ハイパーグラフマッチング、および genus のような位相的グラフ不変量との理論的関係は何か？

主な発見

• 本稿では、実行時間 O(f(ε)n²) の EPTAS を達成し、真の genus g(G) を満たす g ≤ (1+ε)g(G) を満たす genus の推定値 g を返す。
• EPRAS の変種が開発され、genus を (1+ε) 因子以内に近似するだけでなく、推定値 g を実現する回転系を出力する。
• genus 評価に不可欠な最大の辺に交わらない三角形の数 ν(G) の近似を、サイズ f₂(ε) の線形計画法により行っている。
• 高確率で、生成されたハイパーグラフのうち (1−r(ε)−τ) の割合が τ-近似完全マッチングを有し、これにより強固なサイクルパッキングが可能になる。
• 構成法により、有向グラフとその逆の両方における選択されたサイクルの弧に交わらない性質が保証され、ブlossom の解消後に有効な回転系が得られる。
• 最終的な genus 推定値は (1+ε)g(G) ≥ g(G,Π) を満たし、埋め込みの genus に対する (1+ε)-近似保証が証明される。