[論文レビュー] Efficient quantum algorithm for solving travelling salesman problem: An IBM quantum experience

Karthik Srinivasan, Saipriya Satyajit+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、位相推定と量子探索を用いて、都市間の距離を量子位相として符号化することでユニタリ操作を可能にする、NP困難な巡回セールスマン問題（TSP）のための量子アルゴリズムを提案している。全経路の位相を推定し、振幅増幅を用いて最小コストのハミルトニアン閉路を特定することで、古典的ブルートフォース法に比べて2乗の高速化を達成した。4都市のインスタンスについてIBM Quantum Experience上でシミュレーションされた。

ABSTRACT

The famous Travelling Salesman Problem (TSP) is an important category of optimization problems that is mostly encountered in various areas of science and engineering. Studying optimization problems motivates to develop advanced techniques more suited to contemporary practical problems. Among those, especially the NP hard problems provide an apt platform to demonstrate supremacy of quantum over classical technologies in terms of resources and time. TSP is one such NP hard problem in combinatorial optimization which takes exponential time order for solving by brute force method. Here we propose a quantum algorithm to solve the travelling salesman problem using phase estimation technique. We approach the problem by encoding the given distances between the cities as phases. We construct unitary operators whose eigenvectors are the computational basis states and eigenvalues are various combinations of these phases. Then we apply phase estimation algorithm to certain eigenstates which give us all the total distances possible for all the routes. After obtaining the distances we can search through this information using the quantum search algorithm for finding the minimum to find the least possible distance as well the route taken. This provides us a quadratic speedup over the classical brute force method for a large number of cities. In this paper, we illustrate an example of the travelling salesman problem by taking four cities and present the results by simulating the codes in the IBM's quantum simulator.

研究の動機と目的

• 量子位相推定と振幅増幅を用いて、NP困難な巡回セールスマン問題（TSP）を効率的に解く量子アルゴリズムを開発すること。
• 都市間の距離を量子位相として符号化し、量子コンピュータ上でユニタリな時間発展と位相推定を可能にする。
• 全経路の探索に古典的ブルートフォース法に比べて2乗の高速化を達成すること。
• 4都市の例を用いたIBM Quantum Experience上でのシミュレーションを通じて、アルゴリズムの実現可能性を示すこと。

提案手法

• 各距離 $\phi_{ij}$ を位相 $e^{i\phi_{ij}}$ にマッピングすることで、距離行列をユニタリ行列に変換し、ユニタリ演算子 $B$ を構築する。
• 特定の経路に対応する位相シフトを適用する制御ユニタリ操作 $C-U$ を構築し、固有状態が経路の順序を符号化する。
• 量子位相推定（QPE）アルゴリズムを用いて、特定の経路に対応する固有状態の位相を推定する。ここで位相は全経路コストを符号化する。
• 逆量子フーリエ変換（QFT）を適用して位相情報を抽出し、それが経路の全距離に対応することを確認する。
• DürrとHoyerの量子探索アルゴリズムを用いて、全 $ (N-1)! $ 経路の中から最小位相（すなわち最小全距離）を特定する。
• 4都市TSPインスタンスに対して、カスタムトポロジーとQASMコードを用いて、IBM Quantum Experience上で回路全体をシミュレートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相推定と振幅増幅に基づく量子アルゴリズムは、古典的ブルートフォース探索に比べて2乗の高速化を達成できるか？
• RQ2 非ユニタリな距離行列をどのように量子位相に符号化することで、TSPルーティングのためのユニタリ時間発展を可能にするか？
• RQ3 固有状態が量子回路におけるハミルトニアン閉路をどのように表現しているか？
• RQ4 より大きなTSPインスタンスに対して、回路の深さとキュービット数の要件はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 このアルゴリズムは、IBM Quantumプロセッサのような近位の量子ハードウェアで実装・検証可能か？

主な発見

• 4都市TSPインスタンスにおいて、全経路探索に古典的ブルートフォース法に比べて2乗の高速化を達成し、$ O(\sqrt{(N-1)!}) $ のスケーリングを示した。
• 4都市TSPインスタンスについて、14キュービットを用い、カスタムユニタリサブルーチンを用いてIBM Quantum Experience上で回路が正常にシミュレートされた。
• 位相推定プロセスにより、全経路コストが正しく位相として符号化され、逆QFTを介して抽出され、測定された。
• 距離を位相として表現することでユニタリ操作が可能になり、古典的距離行列の非ユニタリ性を克服した。
• 対称性や次数の上限といった制限付き仮定を必要とせず、TSPインスタンスに対して一般に有効なまま保たれた。
• シミュレーションにより、制御ユニタリとQPEを含む回路全体が、標準的な量子ゲートとIBMのカスタムトポロジーを用いて実装可能であることが示された。