[論文レビュー] Efficient Quantum Algorithms for Simulating Lindblad Evolution

Richard Cleve, Chunhao Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、量子チャネルに特化した線形ユニタリの組み合わせ（LCU）法の新規変種を用いて、オープン量子系における Lindblad 動的を効率的にシミュレートする量子アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、$ \mathrm{poly}(n) $ 個のパウリ演算子から構成される Lindbladian に対して、$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ のゲートコストを達成し、$ O(t^2/\epsilon) $ のオーバーヘッドを伴うハミルトニアンシミュレーションへの還元に比べて優れている。

ABSTRACT

We consider the natural generalization of the Schrödinger equation to Markovian open system dynamics: the so-called the Lindblad equation. We give a quantum algorithm for simulating the evolution of an $n$-qubit system for time $t$ within precision $ε$. If the Lindbladian consists of $\mathrm{poly}(n)$ operators that can each be expressed as a linear combination of $\mathrm{poly}(n)$ tensor products of Pauli operators then the gate cost of our algorithm is $O(t\, \mathrm{polylog}(t/ε)\mathrm{poly}(n))$. We also obtain similar bounds for the cases where the Lindbladian consists of local operators, and where the Lindbladian consists of sparse operators. This is remarkable in light of evidence that we provide indicating that the above efficiency is impossible to attain by first expressing Lindblad evolution as Schrödinger evolution on a larger system and tracing out the ancillary system: the cost of such a extit{reduction} incurs an efficiency overhead of $O(t^2/ε)$ even before the Hamiltonian evolution simulation begins. Instead, the approach of our algorithm is to use a novel variation of the "linear combinations of unitaries" construction that pertains to channels.

研究の動機と目的

• マコフ的オープン系ダイナミクス（Lindblad マスター方程式に従う）を効率的にシミュレートする量子アルゴリズムの開発。
• 拡大された系上でのハミルトニアンに還元する手法による非効率性を克服し、$ O(t^2/\epsilon) $ のコストオーバーヘッドを回避すること。
• パウリ演算子の $ \mathrm{poly}(n) $ 個からなる Lindbladian に対して、ゲート複雑度が $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ にスケーリングするシミュレーションを達成すること。
• 局所的・スパースな Lindbladian 演算子に対しても効率を保ち、精度に多項式対数的依存を維持すること。

提案手法

• 量子チャネル（ユニタリに限らない）に特化した、線形ユニタリの組み合わせ（LCU）フレームワークの新規変種を導入。
• Lindblad 演算子とハミルトニアンから導出されるユニタリの制御された和として、Lindbladian 動的を実装するためのマルチプレクスト・ユニタリ構成を用いる。
• 純化とインジケータ・キュービットレジスタを用いて、Lindbladian 生成子を符号化し、LCU の各成分を制御的に適用可能にする。
• 各 Lindblad 演算子とハミルトニアンを、制御された誤差を持つユニタリの線形結合として近似・切断するスキームを適用。
• 集中限界と誤差解析を用いて、シミュレートされた動的と真の動的との間のダイアモンドノルム距離が $ \epsilon $ 以内に保たれることを保証。
• 全時間 $ t $ を $ O(\tau) $ 個のセグメントに分割し、$ \tau = t\|\mathcal{L}\|_{\text{pauli}} $ とし、各セグメントで精度を低減して再帰的に回路を適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lindblad 動的を、$ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)) $ のゲートコストでシミュレート可能か。標準的なハミルトニアンシミュレーション還元による $ O(t^2/\epsilon) $ のオーバーヘッドを回避できるか。
• RQ2 アーキテクチャにアダルタを用いるハミルトニアン埋め込みを経由せず、直接的なチャネルベース LCU 構成によって Lindblad 動的をシミュレート可能か。
• RQ3 Lindbladian が局所的またはスパースな演算子から構成される場合のゲート複雑度はどのようになるか。
• RQ4 Lindbladian の LCU 近似における誤差が、全体のシミュレーション忠実度にどのように影響するか。
• RQ5 Lindbladian が $ \mathrm{poly}(n) $ 個のパウリ項から構成され、かつ $ \mathrm{poly}(n) $-スパース構造を持つ場合、アルゴリズムは効率を保てるか。

主な発見

• Lindbladian が $ \mathrm{poly}(n) $ 個の演算子から構成され、かつ各演算子が $ \mathrm{poly}(n) $ 個のパウリ項の線形結合である場合、ゲートコストは $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ に達成される。
• ハミルトニアンと Lindblad 演算子が $ d $-スパースであるスパースな Lindbladian の場合、ゲート複雑度は $ O(\tau\,\mathrm{polylog}(mq\tau/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n,d)) $ となる。ここで $ \tau = t\|\mathcal{L}\|_{\text{ops}} $ である。
• クエリ複雑度は $ O\left(\tau\,\frac{\log(\tau/\epsilon)}{\log\log(\tau/\epsilon)}\,\mathrm{poly}(d)\right) $ にスケーリングし、効率的なオラクル使用を反映している。
• 本手法は、拡大系上でのハミルトニアン還元に起因する $ O(t^2/\epsilon) $ のコストオーバーヘッドを回避しており、付録 A で証明されている。
• 十分な切断および近似パラメータを選択することで、シミュレーション誤差はダイアモンドノルムで $ \epsilon $ 以内に抑えられ、集中限界により忠実度が保証される。
• Lindbladian が局所的演算子から構成される場合でも、アルゴリズムは効率的であり、複雑度は $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ にスケーリングする。