[論文レビュー] Efficient quantum tomography

Ryan O’Donnell, John C. Wright|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$ d $ 次元の混合量子状態 $ \rho $ をフロベニウスノルム誤差 $ \epsilon $ で推定するために、$ O(d/\epsilon) $ コピーで十分である、効率的な量子状態トモグラフィー手法を提示する。これは、従来の境界を著しく改善する。本手法はシュール–ウェイル分布とRSK対応を活用し、ランク $ k $ 近似に対して $ O(kd/\epsilon^2) $ コピーで最適なスペクトル推定と主成分分析（PCA）を実現する。

ABSTRACT

In the quantum state tomography problem, one wishes to estimate an unknown $d$-dimensional mixed quantum state $ρ$, given few copies. We show that $O(d/ε)$ copies suffice to obtain an estimate $\hatρ$ that satisfies $\|\hatρ - ρ\|_F^2 \leq ε$ (with high probability). An immediate consequence is that $O(\mathrm{rank}(ρ) \cdot d/ε^2) \leq O(d^2/ε^2)$ copies suffice to obtain an $ε$-accurate estimate in the standard trace distance. This improves on the best known prior result of $O(d^3/ε^2)$ copies for full tomography, and even on the best known prior result of $O(d^2\log(d/ε)/ε^2)$ copies for spectrum estimation. Our result is the first to show that nontrivial tomography can be obtained using a number of copies that is just linear in the dimension. Next, we generalize these results to show that one can perform efficient principal component analysis on $ρ$. Our main result is that $O(k d/ε^2)$ copies suffice to output a rank-$k$ approximation $\hatρ$ whose trace distance error is at most $ε$ more than that of the best rank-$k$ approximator to $ρ$. This subsumes our above trace distance tomography result and generalizes it to the case when $ρ$ is not guaranteed to be of low rank. A key part of the proof is the analogous generalization of our spectrum-learning results: we show that the largest $k$ eigenvalues of $ρ$ can be estimated to trace-distance error $ε$ using $O(k^2/ε^2)$ copies. In turn, this result relies on a new coupling theorem concerning the Robinson-Schensted-Knuth algorithm that should be of independent combinatorial interest.

研究の動機と目的

• 高次元系における量子状態トモグラフィーに必要なコピー数を最小化する、長年の未解決問題に取り組む。
• 特に $ d $ が大きい場合に顕著な指数的スケーリングのボトルネックを克服する。
• 低ランク状態における完全な状態トモグラフィーおよび主成分分析（PCA）の両方で、最適またはほぼ最適なコピー複雑度を達成する。
• 固有値推定と状態再構築の理論的保証を得るために、ロビンソン–シェンステッド–クヌース（RSK）アルゴリズムの新しい結合定理を構築する。
• 非自明なトモグラフィーが次元 $ d $ に対して線形依存にとどまることを示し、量子情報複雑度における主要なギャップを埋める。

提案手法

• Schur–Weyl分布に基づくEmpirical Young Diagram（EYD）測定を用い、$ \rho $ の $ n $ コピーからスペクトル情報を抽出する。
• 最高重みベクトル射影を用いたKeylの状態推定プロトコルを適用し、観測されたヤング図をもとに密度行列を再構築する。
• 文字列と標準ヤングテーブルックスのペアの間のRSK対応を活用し、観測された固有値周波数の分布を分析する。
• バイアス付きサンプリング下でのテーブルックスの形状の単調性を保証する、RSKにおける重要な結合定理を証明する。
• 再構築された状態 $ \hat{\rho} $ の期待フロベニウスノルム誤差が $ (4d-3)/n $ で抑えられることを示し、$ \epsilon $-精度を達成するには $ O(d/\epsilon^2) $ コピーで十分であることを示す。
• トップ $ k $ 個の固有値を推定し、それに対応する固有空間に射影することで、主成分分析を実行するフレームワークを一般化し、$ O(kd/\epsilon^2) $ コピーで実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子状態トモグラフィーを、次元 $ d $ に対して線形のコピー複雑度で行うことは可能か？ すなわち、多項式的またはそれ以上のスケーリングではなく。
• RQ2 高精度で低ランク混合状態のスペクトルを推定するために、最適なコピー数は何か？
• RQ3 未知の量子状態に対して、$ d $ に関して2次未塔のコピー数で効率的な主成分分析（PCA）を実行できるか？
• RQ4 RSK対応を用いて、量子トモグラフィーにおける固有値推定のための新しい集中不等式を導出できるか？
• RQ5 量子トモグラフィーに必要なコピー数のタイトな下界は何か？ そして、上界はその下界にどの程度近づけるか？

主な発見

• 再構築された状態 $ \hat{\rho} $ のフロベニウスノルム誤差は、$ \mathbb{E}[\|\hat{\rho} - \rho\|_F^2] \leq (4d-3)/n $ を満たす。これにより、フロベニウス距離における $ \epsilon $-精度を達成するには $ O(d/\epsilon^2) $ コピーで十分である。
• ランク $ r $ の状態に対しては、$ O(rd/\epsilon^2) $ コピーでトレース距離誤差 $ \epsilon $ を達成でき、従来の $ O(d^3/\epsilon^2) $ の境界を改善する。
• 状態 $ \rho $ の最大 $ k $ 個の固有値は、$ O(k^2/\epsilon^2) $ コピーでトレース距離誤差 $ \epsilon $ で推定可能であり、従来の $ O(k^2 \log(k/\epsilon)/\epsilon^2) $ の手法に比べて顕著な改善である。
• 本手法は、対数要因を除いて最適なコピー複雑度を達成する：フロベニウス誤差 $ \epsilon_0 $ を達成するには $ \widetilde{\Omega}(d) $ コピーが必要であり、本稿の $ O(d/\epsilon^2) $ の境界は、$ \log d $ 要因を除いてこれに一致する。
• RSKテーブルックスの結合定理により、$ p > q $ のとき、$ p $-バイアス付き文字列が $ q $-バイアス付き文字列をストキャスティックに支配することが保証され、集中性および比較的議論が可能になる。
• 本フレームワークは、効率的なPCAに一般化可能である：$ O(kd/\epsilon^2) $ コピーで、最良のランク $ k $ 近似とのトレース距離誤差が $ \epsilon $ 以内となるランク $ k $ 近似 $ \hat{\rho} $ を出力可能である。