[論文レビュー] Efficient simulation of many-body localized systems

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Quantum many-body systems参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、対角的密度演算子を逆多項式帯域幅を持つマイクロカノニカル集合に支持させることで、行列積演算子（MPO）を用いた厳密で多項式時間の古典的アルゴリズムを提示し、1次元多体局在化（MBL）系における有限エネルギー密度状態の効率的シミュレーションを実現する。対数的光円錐条件とエネルギーフィルタリングを活用することで、局所的積分の運動量や面積則に従うエンタングルメントといった強い仮定に依存せずに、MBLのダイナミクスおよび相転移の効率的シミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

An efficient numerical method is developed using the matrix product formalism for computing the properties at finite energy densities in one-dimensional (1D) many-body localized (MBL) systems. Arguing that any efficient (possibly quantum) algorithm can only have a polynomially small energy resolution, we propose a (rigorous) polynomial-time (classical) algorithm that outputs a diagonal density operator supported on a microcanonical ensemble of an inverse polynomial bandwidth. The proof uses no other conditions for MBL but assumes that the effect of any local perturbation (e.g., injecting conserved charges) is restricted to a region whose radius grows logarithmically with time. A non-optimal version of this algorithm efficiently simulates the quantum phase estimation algorithm in 1D MBL systems; a heuristic version of the algorithm can be easily coded and used to, e.g., detect energy-tuned dynamical quantum phase transitions between MBL phases. We extend the algorithm to two and higher spatial dimensions using the projected entangled pair formalism.

研究の動機と目的

• 1次元MBL系の有限エネルギー密度における性質を効率的に計算するための古典的アルゴリズムの開発。
• 正確な対角化に制限される指数的ヒルベルト空間スケーリングを克服すること。
• 最小限の仮定、特に対数的光円錐条件に基づく、厳密なシミュレーション手法の提供。
• 射影エンタングルドペア演算子（PEPO）を用いて、2次元以上への手法の拡張。
• MBL相におけるエネルギーチューニング可能な動的量子相転移の検出を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、対数的光円錐条件の下で局所的ダイナミクスを効率的に捉えることができる行列積状態（MPS）形式を用いて、時間発展演算をシミュレートする。
• 逆多項式エネルギー帯域幅内にある固有状態を選択する干渉パターンを構築するエネルギーフィルタリング技術を適用する。
• 方法は、制御されたエネルギー分解能を持つ固有状態のマイクロカノニカル集合を表す対角的密度演算子をMPO形式で出力する。
• ヒューリスティックなバージョンでは、切断誤差のため厳密ではないが、時間発展演算にTEBDアルゴリズムを用いる。
• 高次元では、準多項式的結合次元を持つ対角的密度演算子のPEPO表現を構築する。
• 本手法は、局所的積分の運動量や面積則に従うエンタングルメントといった強いMBLの特徴づけに依存せず、代わりに対数的時間発展にのみ依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な固有状態を必要とせず、有限エネルギー密度におけるMBL系を古典的アルゴリズムで効率的にシミュレートできるか？
• RQ2 情報伝播に関する最小限の物理的条件は何か？それがMBL系の効率的古典的シミュレーションを可能にする。
• RQ3 テンソルネットワーク手法を用いて、逆多項式エネルギー分解能を持つ対角的密度演算子をどのように構築できるか？
• RQ4 エネルギーチューニング可能な観測量を用いて、MBL相における動的量子相転移を検出できるか？
• RQ5 計算コストを制御できるPEPOを用いて、MPOに基づくシミュレーションを2次元以上に拡張できるか？

主な発見

• アルゴリズムは多項式時間で実行され、逆多項式エネルギー分解能を持つマイクロカノニカル集合を近似する対角的密度演算子をMPO形式で出力する。
• 局所的摂動が時間とともに対数的に広がるという仮定の下で、本手法は厳密に正当化される。これはMBLの最小条件である。
• ヒューリスティック版のアルゴリズムは、1次元MBL系における量子位相推定アルゴリズムを効果的にシミュレートでき、エネルギーチューニング可能な動的量子相転移の検出を可能にする。
• 2次元以上では、準多項式的結合次元を持つ対角的密度演算子のPEPO表現が構築されるが、このPEPOから物理的観測量を効率的に計算することはまだできない。
• 局所的積分の運動量や面積則に従うエンタングルメントといった仮定を必要としないため、より広範かつ根本的な条件下でも適用可能である。
• 本アルゴリズムは、正確な固有状態ですら、指数的に小さい準位間隔のため、効率的に準備できないことを示しており、逆多項式分解能を実用的かつ厳密な目標とする根拠を示している。