[論文レビュー] Efficient Simulation of Random Quantum States and Operators

Christoph Dankert|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、相互に直交する基底（MUBs）およびクラッカー群を用いて、スケーラブルなノイズあり量子チャネルにおける平均忠実度の推定を可能にする、効率的な量子回路を提示する。MUB状態が2-デザインを形成することを証明し、任意のチャネルをデポラライジングチャネルにtwirlするのに十分な最小のクラッカー群の部分集合を示し、Nキュービットにおける効率的実装の明示的構成を提示する。

ABSTRACT

We investigate the generation of quantum states and unitary operations that are ``random'' in certain respects. We show how to use such states to estimate the average fidelity, an important measure in the study of implementations of quantum algorithms. We re-discover the result that the states of a maximal set of mutually-unbiased bases serve this purpose. An efficient circuit is presented that generates an arbitrary state out of such a set. Later on, we consider unitary operations that can be used to turn any quantum channel into a depolarizing channel. It was known before that the Clifford group serves this and a related purpose, and we show that these are actually the same. We also show that a small subset of the Clifford group is already sufficient to accomplish this. We conclude with an efficient construction of the elements of that subset. This thesis is based on joint work with Richard Cleve, Joseph Emerson, and Etera Livine.

研究の動機と目的

• ノイズあり量子チャネルにおける平均忠実度の正確な推定を可能にする、効率的な量子回路を用いたランダム量子状態の生成を目的とする。
• 相互に直交する基底（MUBs）がユニタリ2-デザインを形成することを示し、全プロセスタノメトリーを伴わずに忠実度推定を効率的に行えるようにすることを目的とする。
• 任意の量子チャネルをデポラライジングチャネルにtwirlするのに十分な最小のクラッカー群の部分集合を示し、ノイズの特徴付けを簡素化することを目的とする。
• NキュービットにおけるMUB状態の生成および必要なクラッカー群のtwirlを実装する、明示的かつ効率的な量子回路構成を提供することを目的とする。

提案手法

• 平均忠実度の推定を状態トモグラフィーを用いて行うために、MUB状態を2-デザインとして用いる。これにより、高コストな全プロセスタノメトリーの代わりに可能となる。
• ガロア体上のアダマール、Tゲート、および制御位相操作を用いて、任意のMUB状態を効率的に準備するための量子回路を構築する。
• 各キュービットにわたるパウリ演算子を均一にランダム化するために、ランダムなCNOTおよびTゲート操作を用いたパウリtwirl手順を適用する。
• ガロワ環の算術に基づく再帰的回路構造を用いて、Nキュービットに対してO(N²)の深さで効率的にMUB状態を生成する。
• 2段階のtwirlプロセスを採用する：まず、1つのキュービットを除くすべてのキュービットにおけるパウリ演算子をランダム化し、次に残りのキュービットに対してCNOTおよびTゲートを用いた制御されたランダム化を適用する。
• パウリ演算子の分布が一様であることと、twirlに対して不変であることの証明により、得られるユニタリの分布が2-デザインを形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全プロセスタノメトリーを伴わず、相互に直交する基底（MUBs）を用いて、量子チャネルの平均忠実度を効率的に推定できるか？
• RQ2 任意の量子チャネルをデポラライジングチャネルにtwirlするのに十分な最小のクラッカー群の部分集合は存在するか？
• RQ3 任意の状態からなる最大のMUB集合からの状態を効率的に生成する量子回路を構築できるか？
• RQ4 有限の量子状態および操作の集合を用いて、ユニタリのハール測度の平均を効率的に近似できるか？
• RQ5 クラッカー群がユニタリ2-デザインとして機能する構造は何か？ また、これにより最小限のリソースで実装できるか？

主な発見

• 相互に直交する基底（MUBs）はユニタリ2-デザインを形成し、ランダム状態の準備と測定を用いて、全プロセスタノメトリーを伴わず平均忠実度を効率的に推定可能である。
• クラッカー群はユニタリ2-デザインを形成し、任意の量子チャネルをデポラライジングチャネルにtwirlするのに十分な最小の部分集合が存在する。
• 深さO(N²)の効率的な量子回路により、アダマール、Tゲート、および制御位相操作のみを用いて、Nキュービットにおける任意のMUB状態を生成可能である。
• ガロワ環の算術を用いて、計算基底状態を位相回転を通じてMUB状態に写像する再帰的回路を生成し、MUB状態を効率的に生成する。
• ランダムCNOTおよびTゲートを用いたtwirlプロシージャーにより、キュービット全体にわたるパウリ分布が一様に達成され、サポートから除外されるパウリ演算子は4つに限られる（最初のキュービットで恒等演算子、他のキュービットで恒等またはZ）。
• クラッカー群のtwirlを実現する完全で明示的な回路構成を提供しており、高い確率で所望の均一性を達成し、最小限のオーバーヘッドで実装可能である。