[論文レビュー] Efficient Solution of Backward Jump-Diffusion PIDEs with Splitting and Matrix Exponentials

Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2013

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、拡散およびジャンプ過程の作用素分割と行列指数関数またはパッド近似を組み合わせることで、金融工学におけるバックワードジャンプ拡散PIDEを解く、新規で無条件安定かつ2次精度の数値解法を提示する。この手法により、非局所的ジャンプ積分が局所的擬微分作用素に変換され、重複するグリッド上での有限差分スキームにより、効率的かつ正性を保つ解法が可能になる。実証された2次収束と、ヘストン＋ベータ・ギャンブル（Heston+VG）のような複雑なモデルにおいて、FFTベースの代替手法に比して優れた性能を示す。

ABSTRACT

We propose a new, unified approach to solving jump-diffusion partial integro-differential equations (PIDEs) that often appear in mathematical finance. Our method consists of the following steps. First, a second-order operator splitting on financial processes (diffusion and jumps) is applied to these PIDEs. To solve the diffusion equation, we use standard finite-difference methods, which for multi-dimensional problems could also include splitting on various dimensions. For the jump part, we transform the jump integral into a pseudo-differential operator. Then for various jump models we show how to construct an appropriate first and second order approximation on a grid which supersets the grid that we used for the diffusion part. These approximations make the scheme to be unconditionally stable in time and preserve positivity of the solution which is computed either via a matrix exponential, or via P{á}de approximation of the matrix exponent. Various numerical experiments are provided to justify these results.

研究の動機と目的

• 局所的確率的ボラティリティにジャンプを組み込んだような複雑な金融モデルに生じるバックワードジャンプ拡散PIDEを解く計算上の課題に対処すること。
• オプションプライシングの正性を保証する必要があるため、数値的に安定で2次精度のスキームを構築すること。
• メルトン、コウ、CGMYなどのさまざまなジャンプモデルを統一的に取り扱うために、非局所的ジャンプ積分を局所的非線形微分作用素に変換すること。
• 行列指数関数またはパッド近似を用いることで、遅いピカール反復やFFT法で一般的に生じる折り返し誤差を回避し、効率的な計算を可能とすること。
• 特徴関数が到達不能なモデル、例えばヘストンにVGジャンプを組み込んだモデルにおいても適用可能とすること。この場合、変換法は不適切である。

提案手法

• PIDEの拡散部とジャンプ部を2次作用素分割により時間的に分離し、逐次的に処理する。
• 拡散部は標準的な有限差分スキームで解き、多次元問題では次元分割を用いる。
• ジャンプ積分は変数変換により擬微分作用素に変換され、拡散グリッドを越えて拡張されたグリッド上で局所的に近似可能になる。
• それぞれのジャンプモデル（メルトン、コウ、CGMY）に対して、2次精度と無条件安定性、正性保持を満たす有限差分近似を構築する。
• 時間発展は、行列指数関数またはそのパッド近似による有理関数近似を用いる。これらは無条件安定で、正性を保つ。
• 主な革新点は、重複グリッドと補間を用いることで、非一様グリッドでも2次精度を維持し、FFTに起因する折り返し誤差を回避することである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリーヴィー・ジャンプダイナミクスを有するバックワードジャンプ拡散PIDEに対して、2次精度で無条件安定かつ正性を保つ数値スキームを構築可能か？
• RQ2 ジャンプグリッドと拡散グリッドが一致しない場合でも、FFTに依存せずに非局所的ジャンプ積分を効率的に近似可能か？
• RQ3 行列指数関数法は、ピカール反復のような反復スキームに比べ、収束速度と安定性において優位性を示せるか？特に遷移行列のスペクトル半径が1に近い場合に有効か？
• RQ4 メルトン、コウ、CGMYなどの多様なジャンプモデルを、一貫した精度と安定性を保つ同一の数値フレームワークで統合的に取り扱えるか？
• RQ5 特徴関数は既知だがFFTベースの手法がグリッド拡張と精度のトレードオフに直面するような、ヘストンにVGジャンプを組み込んだ複雑なモデルにおいて、本手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案手法は、すべてのテストされたジャンプモデル（CGMYモデルを含むα > 1の場合も）で空間方向に2次収束を達成した。これは、従来の手法が困難としていた領域である。
• M行列およびメッツラー行列理論を用いた解析により、スキームが無条件安定で、解の正性を保つことが証明された。
• ヘストン＋VGモデルにおいて、本手法とFFTベースのプライシングとの相対差は0.5%未満であり、深くアウト・オブ・ザ・マネーなストリックに近づくと1.7%まで上昇した。
• スペクトル半径が1に近い場合、行列指数関数の計算はピカール反復に比べて収束速度が顕著に速く、収束が遅く丸め誤差に敏感な問題に対して優位である。
• FFTに起因する折り返し誤差を回避し、標準的な巡回埋め込み手法とは異なり、グリッドサイズを2倍にする必要がない。
• アルゴリズムはバリアオプションやデジタルオプションなどのエグゾチックオプションへも一般化可能であり、さらなる開発によりアメリカン／ベルムーディアンオプションのプライシングにも適している。