[論文レビュー] Efficient unitary designs and pseudorandom unitaries from permutations

Chi-Fang Chen, Adam Bouland+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2024

graph theory and CDMA systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$N=2^n$ における $S(N)$ 上のランダムな置換を $U(N)$ 上のユニタリに引き上げることで、ユニタリ $k$-デザインおよび擬似ランダムユニタリ（PRU）を、$ ilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 個の量子ゲートのみを用いて構築する効率的な量子アルゴリズムを提示する。主な洞察は、大 $N$ におけるランダム行列理論と多項式法の新しい接続であり、これにより有限 $N$ における解析が大 $N$ の極限からの補間によって可能となり、情報理論的 $k$-デザインおよび計算的 PRU の両方において最適なゲート複雑性を達成する。

ABSTRACT

In this work we give an efficient construction of unitary $k$-designs using $ ilde{O}(k\cdot poly(n))$ quantum gates, as well as an efficient construction of a parallel-secure pseudorandom unitary (PRU). Both results are obtained by giving an efficient quantum algorithm that lifts random permutations over $S(N)$ to random unitaries over $U(N)$ for $N=2^n$. In particular, we show that products of exponentiated sums of $S(N)$ permutations with random phases approximately match the first $2^{Ω(n)}$ moments of the Haar measure. By substituting either $ ilde{O}(k)$-wise independent permutations, or quantum-secure pseudorandom permutations (PRPs) in place of the random permutations, we obtain the above results. The heart of our proof is a conceptual connection between the large dimension (large-$N$) expansion in random matrix theory and the polynomial method, which allows us to prove query lower bounds at finite-$N$ by interpolating from the much simpler large-$N$ limit. The key technical step is to exhibit an orthonormal basis for irreducible representations of the partition algebra that has a low-degree large-$N$ expansion. This allows us to show that the distinguishing probability is a low-degree rational polynomial of the dimension $N$.

研究の動機と目的

• $n$ ビットのユニタリ $k$-デザインに対する $ frac{\Omega(nk)}{\text{量子ゲート下限}}$ と既存の構成との間のギャップを埋める。
• 平行セキュアな擬似ランダムユニタリ（PRU）を、$ frac{\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))}{\text{ゲート}}$ のみを用いて効率的に構成する。
• 大 $N$ におけるランダム行列理論と有限 $N$ における解析のための多項式法との間の概念的ブリッジを確立する。
• 指数関数的和にランダム位相を用いた置換のユニタリへの引き上げにより、近似的な $k$-デザインおよび PRU を効率的に生成する量子アルゴリズムを可能にする。

提案手法

• 置換演算子の指数関数的和にランダム位相を用いて、$S(N)$ から $U(N)$ へのランダム置換のユニタリへの引き上げを行う。
• 分配代数の $N$ における大 $N$ 展開を用いて、$N$ における低次の多項式構造を持つ正規直交基底を特定する。
• 多項式法を用いて、構成された集合とハール測度との間の識別確率が $N$ における低次の有理多項式であることを示す。
• 漸近的自由性とモーメントマッチング技術を用いて、大 $N$ の極限からの有限 $N$ の境界を補間する。
• 真のランダム置換の代わりに $k$-wise 独立置換または量子セキュアな擬似ランダム置換（PRP）を用いることで、効率的な構成を達成する。
• 偏光的議論とトレースノルムの境界を用いて、適応的識別性を制御し、非適応的 $1$-ノルムセキュリティが $4^k N^{4k}$ のオーバーヘッドで適応的セキュリティを示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ $k$-デザインは、$ frac{\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))}{\text{量子ゲート}}$ で構築可能であり、対数的要因を除いて理論的下限 $ frac{\Omega(nk)}{\text{ゲート}}$ に近いか？
• RQ2 平行セキュアな状態で、$ frac{\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))}{\text{ゲート}}$ のみを用いて、擬似ランダムユニタリ（PRU）を効率的に構築可能か？
• RQ3 大 $N$ におけるランダム行列理論と有限 $N$ における擬似ランダム性構成との間に、概念的かつ技術的ブリッジは存在するか？
• RQ4 構成された集合とハール測度との間の識別確率が $N=2^n$ における低次の有理多項式として境界づけられるか？
• RQ5 引き上げ構成において $k$-wise 独立置換または量子セキュアな PRP を用いることで、望ましい擬似ランダム性の性質が保持されるか？

主な発見

• 本論文は、$ frac{\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))}{\text{量子ゲート}}$ を用いてユニタリ $k$-デザインの効率的構成を達成し、$ frac{\Omega(nk)}{\text{下限}}$ にほぼ一致する。
• 本論文は、$ frac{\tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))}{\text{ゲート複雑性}}$ を有する平行セキュアな擬似ランダムユニタリ（PRU）の最初の効率的構成を提供する。
• 構成された集合とハール測度との間の識別確率が $N=2^n$ における低次の有理多項式であることが示され、有限 $N$ における解析が大 $N$ の極限からの補間によって可能になる。
• 構成は、指数関数的和にランダム位相を用いた置換のユニタリへの引き上げに依存しており、そのモーメントがハール測度のものと $2^{\Omega(n)}$ 階まで一致する。
• $k$-wise 独立置換または量子セキュアな PRP を用いることで、情報理論的 $k$-デザインおよび計算的 PRU の両方を最適なゲート複雑性で達成する。
• 本手法は、多項式法を大 $N$ におけるランダム行列理論と結びつけることで、量子系における擬似ランダム性の解析のための新しいフレームワークを確立する。