[論文レビュー] Efficiently computing Groebner bases of ideals of points

Winfried Just, Brandilyn Stigler|ArXiv.org|Nov 21, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文では、点の消失イデアルのグレブナー基底を計算するための最適化されたアルゴリズムであるEssGBを提示する。点の数 $ m $ が変数の数 $ n $ よりもはるかに小さい場合に有効である。重要な変数を特定し、PLU分解を用いて線形方程式系を効率的に解くことで、時間計算量を $ O(nm^2 + m^4) $ に削減し、系統生物学の応用で一般的な高次元・低点数の状況において、 Buchberger-Möller法や従来の手法と比べて顕著な高速化を達成した。

ABSTRACT

We present an algorithm for computing Groebner bases of vanishing ideals of points that is optimized for the case when the number of points in the associated variety is less than the number of indeterminates. The algorithm first identifies a set of essential variables, which reduces the time complexity with respect to the number of indeterminates, and then uses PLU decompositions to reduce the time complexity with respect to the number of points. This gives a theoretical upper bound for its time complexity that is an order of magnitude lower than the known one for the standard Buchberger-Moeller algorithm if the number of indeterminates is much larger than the number of points. Comparison of implementations of our algorithm and the standard Buchberger-Moeller algorithm in Macaulay 2 confirm the theoretically predicted speedup. This work is motivated by recent applications of Groebner bases to the problem of network reconstruction in molecular biology.

研究の動機と目的

• 分子生物学の応用において $ m \ll n $ の場合に生じるグレブナー基底計算の計算ボトルネックを解消すること。
• 高次元・低点数の設定における点の消失イデアルのグレブナー基底計算の時間計算量を低減すること。
• 削減された変数空間における Buchberger-Möllerアルゴリズムへの依存を排除し、直接的な線形代数的手法を用いること。
• Buchberger-Möllerアルゴリズムを呼び出すサブルーチンを削除することで、EssBMアルゴリズムを改善し、全体の計算量を低減すること。
• Macaulay2を用いた実験的ベンチマークを通じて、理論的な高速化の妥当性を検証すること。

提案手法

• アルゴリズムはまず、標準単項式のサポートに現れる変数（重要な変数）を、変数の1回の走査によって特定する。
• 有限体 $ k $ 上で線形方程式系を構築し、係数行列は新しい重要な変数が追加されるたびにのみ変化する。
• PLU分解を用いてこれらの線形方程式系を効率的に解き、1ステップあたりのコストを $ O(m^2) $ に削減する。
• 完全なガウスの消去法を避けるために、因子分解を再利用し、必要に応じてのみ更新することで、システムのスパarsityと構造を活用する。
• 削減されたセット上で Buchberger-Möllerアルゴリズムを呼び出さずに、これらの線形方程式系の解から直接、削減されたグレブナー基底を計算する。
• この手法は Macaulay2 に実装され、$ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/101\mathbb{Z} $ のさまざまな体のサイズ、項順序（Lex, GRevLex）、および $ m $ と $ n $ のさまざまな設定でテストされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点のイデアルのグレブナー基底計算の時間計算量は、$ m \ll n $ の場合に低減可能か？
• RQ2 削減された変数空間における Buchberger-Möllerサブルーチンの排除が、証明可能な計算量の改善をもたらすか？
• RQ3 グレブナー基底計算に生じる動的に更新される線形方程式系に、PLU分解技術を効果的に適用可能か？
• RQ4 新しいアルゴリズムの性能は、$ n $ が増加し、$ m $ が固定された場合にどのようにスケーリングするか？
• RQ5 点の依存性が増加する状況においても、アルゴリズムは多様体や項順序に関係なく一貫した性能を維持するか？

主な発見

• EssGBの最悪計算量は $ O(nm^2 + m^4) $ であり、EssBMアルゴリズムの $ O(nm^3 + m^6) $ の計算量と比べて顕著な改善である。
• Macaulay2における実験的テストにより、$ n = 300 $ の場合に、特に $ n $ が200を超えると、EssGBが Buchberger-Möllerおよび EssBM を上回ることが確認された。
• $ m = 5, 10, 15 $ の場合、BMに対して一貫した性能向上が見られ、$ n = 300 $ の際に最大の相対的高速化が観察された。
• BM や EssBM よりも、EssGBの実行時間はさまざまな多様体においてより安定しており、Lex順序と大きな体（$ p = 101 $）の場合を除いて同様であった。
• 点間に線形依存性が増加する場合、GRevLex順序下で EssGB の性能は顕著に向上し、データ構造への耐性が示された。
• Macaulay2バージョン 0.9.97 における実装では、BM に対する相対的高速化がより顕著に現れたが、依然として高 $ n $ の状況では EssGB が性能優位を維持した。