[論文レビュー] Efficiently contractable quantum circuits cannot produce much entanglement

Nadav Yoran|ArXiv.org|Feb 8, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、テンソルネットワークの収縮が容易な量子回路—特定のグラフトポロジーのおかげで収縮の複雑さが低い—が、顕著な量子もつれを生成できないことを示している。著者らは、テンソル収縮法とツリーテンソルネットワーク（TTN）表現との間の構造的同等性を確立することで、このような回路が古典的にシミュレート可能であり、もつれ生成において本質的に制限されていることを証明している。もつれのスチュアートランクは、キュービット数の多項式関数によって上限が定められている。

ABSTRACT

We show a similarity between two different classical simulation methods for measurement based quantum computation -- one relying on a low entanglement (tree tensor network) representation of the computer's state, and the other a tensor contraction method based on the topology of the graph state. We use this similarity to show that any quantum circuit that can be efficiently simulated via tensor contraction cannot produce much entanglement.

研究の動機と目的

• 低もつれのツリーテンソルネットワーク（TTN）と、回路トポロジーに基づくテンソル収縮の2つの古典的シミュレーション手法の関係を明確にすること。
• 収縮が容易な量子回路が、大量のもつれを生成できるかどうかを調査すること。
• 収縮が容易であるということは、シミュレーション手法の構造的類似性を用いて、もつれが有界であることを確立すること。
• 任意の収縮が容易な量子回路は、すべての段階でスチュアートランクが多項式的に有界なTTN表現を持つべきであることを示すこと。
• もつれが量子優位性の唯一の資源ではないことを示すこと。たとえば、古典的回路など、もつれのない回路でも、収縮が容易でない場合がある。

提案手法

• 測定ベース量子計算（MQC）のためのテンソル収縮スキームを、基礎となる量子回路のグラフ構造に基づいて定義する。
• 同じグラフ構造から、内部辺がスチュアート分解に対応する二分木を用いてツリーテンソルネットワーク（TTN）表現を構築する。
• グラフの収縮複雑度（cc(G)）が、そのツリー幅（twd(G)）およびランク幅（rwd(G)）によって上限が定まることを証明する。ここで rwd(G) = χwd(G) が成り立つ。
• 回路のテンソル収縮が効率的（つまり、cc(Gc) が小さい）ならば、対応するグラフ状態は低ランクのTTN表現を持つことになることを確立する。
• 次数2の頂点の縮約に関して収縮複雑度が不変であることに着目し、回路のグラフ（Gc）とグラフ状態のグラフ（G）との関係を示す。これにより、cc(G) ≤ cc(Gc) が成り立つ。
• MQCにおける単一キュービット測定および局所的操作はスチュアートランクを増加させないため、部分回路の後段の状態も依然としてTTNによって効率的に表現可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮が容易なテンソルネットワークを有する量子回路は、高いもつれレベルを生成できるか？
• RQ2 テンソル収縮法とツリーテンソルネットワーク（TTN）表現との間の構造的関係は何か？ 量子回路のシミュレーションにおいて。
• RQ3 収縮が容易であるということは、量子回路におけるもつれが有界であることを意味するか？
• RQ4 もつれが少ないが、それでもテンソル収縮による古典的シミュレーションが容易でない量子回路は存在するか？
• RQ5 回路のグラフのトポロジー（ツリー幅およびランク幅を用いて）は、計算中における量子状態のもつれをどのように制限するか？

主な発見

• テンソルネットワーク手法による収縮が容易な任意の量子回路は、もつれを多く生成できない。なぜなら、すべての段階におけるスチュアートランクがキュービット数の多項式関数によって上限が定められているからである。
• 回路のグラフ（cc(Gc)）のテンソル収縮複雑度は、対応するグラフ状態（cc(G)）の収縮複雑度によって上界が定まる。これにより、回路における収縮の効率性は、グラフ状態における効率的なTTN表現を保証する。
• グラフのランク幅（rwd(G)）は χwd(G) に等しく、次の不等式を満たす：(twd(G) - 1)/(2Δ²) ≤ rwd(G) ≤ Δ(twd(G) + 1) - 1。この不等式により、トポロジカルパラメータとシミュレーション効率との間に関係が結ばれる。
• 任意の部分回路の後段の量子コンピュータの状態も、依然としてTTNとして効率的に表現可能である。なぜなら、単一キュービット測定および局所的操作はスチュアートランクを増加させないからである。
• もつれを生成しないが、それでも収縮が容易でないテンソルネットワークを持つ量子回路（例：古典的モジュラー指数計算）が存在する。これは、もつれが少ないからといって、古典的シミュレーションが容易であるとは限らないことを示している。
• TTNとテンソル収縮法との構造的類似性により、収縮が容易であるということはもつれが有界であることを意味し、量子優位性の限界を新たな観点から特徴づけるものである。