[論文レビュー] Efficiently Generating Geometric Inhomogeneous and Hyperbolic Random Graphs

Thomas Bläsius, Tobias Friedrich+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Graph Theory and Algorithms被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、幾何的非一様ランダムグラフ（GIRGs）のための最初の効率的で線形時間の生成器を提示し、それを双曲的ランダムグラフ（HRGs）に適応させ、非ゼロ温度および高次元幾何をサポートする。生成器は最適化された幾何的サンプリングと距離フィルタを用い、コンsumerハードウェア上でも1000万エッジのグラフを1秒未塔で生成可能であり、温度制御付きのより複雑な二項モデルをサポートするにもかかわらず、既存のHRG生成器を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

Hyperbolic random graphs (HRG) and geometric inhomogeneous random graphs (GIRG) are two similar generative network models that were designed to resemble complex real world networks. In particular, they have a power-law degree distribution with controllable exponent beta, and high clustering that can be controlled via the temperature T. We present the first implementation of an efficient GIRG generator running in expected linear time. Besides varying temperatures, it also supports underlying geometries of higher dimensions. It is capable of generating graphs with ten million edges in under a second on commodity hardware. The algorithm can be adapted to HRGs. Our resulting implementation is the fastest sequential HRG generator, despite the fact that we support non-zero temperatures. Though non-zero temperatures are crucial for many applications, most existing generators are restricted to T = 0. We also support parallelization, although this is not the focus of this paper. Moreover, we note that our generators draw from the correct probability distribution, i.e., they involve no approximation. Besides the generators themselves, we also provide an efficient algorithm to determine the non-trivial dependency between the average degree of the resulting graph and the input parameters of the GIRG model. This makes it possible to specify the desired expected average degree as input. Moreover, we investigate the differences between HRGs and GIRGs, shedding new light on the nature of the relation between the two models. Although HRGs represent, in a certain sense, a special case of the GIRG model, we find that a straight-forward inclusion does not hold in practice. However, the difference is negligible for most use cases.

研究の動機と目的

• 非ゼロ温度および高次元幾何をサポートする、効率的で線形時間の幾何的非一様ランダムグラフ（GIRGs）生成器を開発すること。
• GIRG生成器を双曲的ランダムグラフ（HRGs）に適応させ、温度制御付きの二項バージョンを含むが、既存の実装では稀な実装を実現すること。
• 線形時間の推定アルゴリズムを用いて、GIRGsにおける期待平均次数に対する明確な制御を可能にする。これは、入力パラメータと期待次数との間の非自明な依存関係を解くものである。
• サンプリングアルゴリズムの明確で実装可能な記述を提供し、GIRGsとHRGsの実用的関係を評価すること。

提案手法

• Bringmannら[7]のコアサンプリングアルゴリズムを、GIRGsにおける非ゼロ温度および高次元をサポートするように変更する。
• エッジサンプリング中に高価な指数関数的評価を減らすために、逆確率を事前計算する距離フィルタを実装し、約2倍の高速化を達成する。
• d次元グリッドにおける効率的な空間インデックス化と近隣探索のため、最適化されたビット操作（例：BMI2命令）を用いたモートンコードを採用する。
• 期待次数を計算する線形時間アルゴリズムを用い、単調関数に対する二分探索を用いて、所望の平均次数を得るためのパrameter cの推定を行う。
• 重み順に頂点を処理することで、エッジ評価コストをO(|ER|)からO(|R|)に削減するため、部分的ソートと近隣集合の再利用を活用する。
• 双曲的距離計算を最適化し、高価なarccoshの代わりにcosh(d) < cosh(R)を用い、中間値を事前計算することで繰り返し高価な演算を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ温度および高次元幾何をサポートしながら、線形期待時間計算量を維持する効率的な幾何的非一様ランダムグラフ（GIRG）生成器をどのように実装できるか？
• RQ2 GIRGモデルの入力パラメータと得られる平均次数との間には非自明な関係があるが、その関係をどのように効率的に逆転できるか？
• RQ3 提案されたGIRG生成器の性能は、特に二項（非ゼロ温度）の場合において、既存のHRG生成器と比べてどの程度優れているか？
• RQ4 実用的には、GIRGsはHRGsをどの程度近似できるか？また、HRGsの部分グラフまたはスーパーグラフを得るために平均次数にどの程度の調整が必要か？
• RQ5 コアサンプリングアルゴリズムはHRGsに適応可能か？特に非ゼロ温度をサポートする場合に高い性能を維持できるか？

主な発見

• 提案されたGIRG生成器は期待線形時間で動作し、コンsumerハードウェア上でも1000万エッジのグラフを1秒未塔で生成可能である。
• 生成器は非ゼロ温度および高次元幾何をサポートしており、GIRGモデルにおいてはこれが同種の効率的実装として初めてである。
• 同じアルゴリズムに基づくHRG生成器は、より複雑な二項モデルと温度制御をサポートするにもかかわらず、利用可能な最も高速なシーケンシャルHRG生成器である。
• 期待次数は線形時間パラメータ推定アルゴリズムにより明確に制御可能であり、入力パラメータと期待次数との間の非自明な依存関係を解く。
• 距離フィルタの最適化により、逆確率の事前計算によって高価な指数関数的評価の頻度が低下し、エッジサンプリングで約2倍の高速化が達成された。
• 理論的には類似しているが、幾何的性質およびパrameter化の違いにより、HRGsをGIRGsの特別なケースとして直接含めることは実際には成立しないが、多くの用途では差は無視できる。