[論文レビュー] Ehresmann doubles and Drinfel'd doubles for Lie algebroids and Lie bialgebroids

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Nov 26, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、二重ベクターバンドルにおける双対性を用いて、二重リー代数的バンドルの新しい概念を導入し、リー双代数的バンドルの余接 bundle が自然に二重リー代数的バンドル構造を持つことを示している。主な貢献は、二つの双対的リー代数的バンドルがリー双代数的バンドルをなすための必要十分条件が、それらの余接 bundle が二重リー代数的バンドルをなすことであることを証明したことであり、これはリー代数的バンドルの文脈において、ドリンフェルトの二重の一般化である。

ABSTRACT

The word `double' was used by Ehresmann to mean `an object X in the category of all X'. Double categories, double groupoids and double vector bundles are instances, but the notion of Lie algebroid cannot readily be doubled in the Ehresmann sense, since a Lie algebroid bracket cannot be defined diagrammatically. In this paper we use the duality of double vector bundles to define a notion of double Lie algebroid, and we show that this abstracts the infinitesimal structure (at second order) of a double Lie groupoid. We further show that the cotangent of either Lie algebroid in a Lie bialgebroid has a double Lie algebroid structure, and that a pair of Lie algebroid structures on dual vector bundles forms a Lie bialgebroid if and only if the structures which they canonically induce on their cotangents form a double Lie algebroid. In particular, the Drinfel'd double of a Lie bialgebra has a double Lie algebroid structure. We also show that matched pairs of Lie algebroids, as used by J.-H. Lu in the classification of Poisson group actions, are in bijective correspondence with vacant double Lie algebroids.

研究の動機と目的

• エレスマンの二重構造をリー代数的バンドルへ一般化する二重リー代数的バンドルの概念を定義すること。
• リー双代数的バンドルの余接 bundle が二重リー代数的バンドル構造を持つことの証明。
• 二つの双対的リー代数的バンドルがリー双代数的バンドルをなすための必要十分条件が、それらの余接 bundle 上に誘導される構造が二重リー代数的バンドルをなすことであることを確立すること。
• この構成により、リー双代数的バンドルのドリンフェルト二重が二重リー代数的バンドルとして実現されることの証明。
• マッチドペアのリー代数的バンドルと空の二重リー代数的バンドルとの関係を明らかにし、双対性を用いた分類を提供すること。

提案手法

• 二重ベクターバンドルの双対性理論を用いて、二重ベクターバンドル上に二つのリー代数的バンドル構造が整合するように定義する。
• 双対なベクターバンドルの余接 bundle 上に、誘導されたポアソン構造を用いてリー代数的バンドル構造を構成する。
• $ T^*A^* $ と $ T^*A $ の間の標準微分同相写像を用いて、同じ全空間上での構造を特定する。
• $ A $ と $ A^* $ 上の元の構造がリー双代数的バンドルをなすための必要十分条件が、 $ T^*A $ 上に誘導される構造が二重リー代数的バンドルをなすことであることを証明する。
• リー関手を用いて、二重リー群のoid の無限小構造が二重リー代数的バンドルを導くことを示す。
• コア写像と反シンプレクティック写像を含む主要な図式の可換性を検証し、ポアソン構造の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数的バンドルの括弧がベクターバンドルの圏の準同型でないため、エレスマンの二重構造の概念がリー代数的バンドルへ拡張可能かどうか。
• RQ2 リー双代数的バンドルの余接 bundle が自然に二重リー代数的バンドル構造を持つのか。
• RQ3 二つの双対的リー代数的バンドルがリー双代数的バンドルをなすという条件が、それらの余接 bundle 上に誘導される構造が二重リー代数的バンドルをなすことと同値であるか。
• RQ4 リー双代数的バンドルのドリンフェルト二重が、この新しい二重リー代数的バンドルの概念とどのように関係するか。
• RQ5 マッチドペアのリー代数的バンドルと空の二重リー代数的バンドルとの間の関係は何か。

主な発見

• リー双代数的バンドル $ (A, A^*) $ の余接 bundle は、$ (A, A^*) $ の余接二重構造として実現される二重リー代数的バンドル構造を持つ。
• 二つの双対的リー代数的バンドル $ A $ と $ A^* $ がリー双代数的バンドルをなすための必要十分条件は、 $ T^*A $ と $ T^*A^* $ 上に誘導されるリー代数的バンドル構造が二重リー代数的バンドルをなすことである。
• この構成により、リー双代数的バンドルのドリンフェルト二重が二重リー代数的バンドルとして実現され、古典的ケースが一般化される。
• マッチドペアのリー代数的バンドルは、空の二重リー代数的バンドルと一対一対応し、分類のためのツールを提供する。
• $ T^*A $ 上の二重リー代数的バンドル構造は、標準的な反シンプレクティック写像とコア写像の整合性から生じ、ポアソン写像と反ポアソン写像の性質により確認される。
• この構成はリー関手と整合性を持つ：二重リー群のoid の無限小構造は二重リー代数的バンドルを導く。